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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Quasi-Static Models

More general approximate models can be obtained by discriminating the time variations, respectively, of the electric field and the magnetic induction. Hence, after the scaling step in Maxwell’s equations in vacuum, that is, in Eqs. (1.107-1.110), if we suppose that
$$
\bar{v} \overline{\bar{F}} \ll 1 \quad \text { and } \quad \frac{\bar{v}}{c} \frac{\bar{E}}{c \bar{B}} \approx 1,
$$

we easily obtain that we may neglect the time derivative $\partial_t \boldsymbol{B}$ in Faraday’s law, whereas the coefficient of the time derivative $\partial_t \boldsymbol{E}$ in Ampère’s law is comparable to one. We then obtain the electric quasi-static model, which can be written in the physical variables $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ as
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=0, \
&\operatorname{div} \boldsymbol{E}=\frac{1}{\varepsilon_0} \varrho, \
&\operatorname{curl} \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{J}+\frac{1}{c^2} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \
&\operatorname{div} \boldsymbol{B}=0 .
\end{aligned}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Darwin Model

Let us introduce another approximate model, also known as the Darwin model [90]. It consists in introducing a Helmholtz decomposition of the electric field as
$$
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}^L+\boldsymbol{E}^T
$$
where $\boldsymbol{E}^L$, called the longitudinal part, is characterized by curl $\boldsymbol{E}^L=0$, and $\boldsymbol{E}^T$, the transverse part, is characterized by div $\boldsymbol{E}^T=0$. Starting from Maxwell’s equations in vacuum, one then assumes that $\varepsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E}^T$ can be neglected in Ampère’s law: one neglects only the transverse part of the displacement current, whereas, in the quasi-static model, the total displacement current $\varepsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E}$ is neglected. In this sense, it is a more sophisticated model than the quasi-static one. Moreover, it can be proven (see Sect. 6.4), by using the low frequency approximation (1.111) and the resulting dimensionless form of Maxwell’s equations, that this model yields a second-order approximation of the electric field and a first-order approximation of the magnetic induction.
The Darwin model in vacuum is written in the physical variables $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ as
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{E}=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, \
&\operatorname{curl} \operatorname{curl} \boldsymbol{B}=\mu_0 \operatorname{curl} \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0 .
\end{aligned}
$$
Then, if one uses the Helmholtz decomposition (1.120) with $\operatorname{div} \boldsymbol{E}^T=0$ and $\boldsymbol{E}^L=-\operatorname{grad} \phi$, we see that the three fields $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{E}^T$ and $\phi$ solve three elliptic PDEs, namely (1.121) and
$$
\begin{aligned}
&-\Delta \phi=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, \
&\operatorname{curl} \boldsymbol{E}^T=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{E}^T=0 .
\end{aligned}
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYC20014

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Quasi-Static Models

通过分别区分电场和磁感应的时间变化,可以获得更一般的近似模型。因此,在真空中麦克斯韦方程的缩 放步骤之后,即在方程中。(1.107-1.110),如果我们假设
$$
\bar{v} \overline{\bar{F}} \ll 1 \quad \text { and } \quad \frac{\bar{v}}{c} \frac{\bar{E}}{c \bar{B}} \approx 1,
$$
我们很容易得到,我们可以忽略时间导数 $\partial_t \boldsymbol{B}$ 在法拉第定律中,而时间导数的系数 $\partial_t \boldsymbol{E}$ 在安培定律中是可 比的。然后我们得到电准静态模型,可以写成物理变量 $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ 作为
$$
\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=0, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{E}=\frac{1}{\varepsilon_0} \varrho, \operatorname{curl} \boldsymbol{B}=\mu_0 \boldsymbol{J}+\frac{1}{c^2} \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Darwin Model

让我们介绍另一种近似模型,也称为达尔文模型[90]。它包括引入电场的亥姆霍兹分解为
$$
\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}^L+\boldsymbol{E}^T
$$
在哪里 $\boldsymbol{E}^L$ ,称为纵向部分,特点是卷曲 $\boldsymbol{E}^L=0$ ,和 $\boldsymbol{E}^T$ ,横向部分,以div为特征 $\boldsymbol{E}^T=0$. 从真空中的 麦克斯韦方程开始,然后假设 $\varepsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E}^T$ 在安培定律中可以忽略:仅忽略位移电流的横向部分,而在准静态 模型中,总位移电流 $\varepsilon_0 \partial_t \boldsymbol{E}$ 被忽略。从这个意义上说,它是一种比准静态模型更复杂的模型。此外,可以 证明(见第 $6.4$ 节) ,通过使用低频近似 (1.111) 和由此产生的麦克斯韦方程的无量纲形式,该模型产生 电场的二阶近似和一阶近似的磁感应。
真空中的达尔文模型写在物理变量中 $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ 作为
$$
\operatorname{curl} \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{E}=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, \quad \operatorname{curl} \operatorname{curl} \boldsymbol{B}=\mu_0 \operatorname{curl} \boldsymbol{J}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{B}=0 .
$$
然后,如果使用亥姆霍兹分解 (1.120) $\operatorname{div} \boldsymbol{E}^T=0$ 和 $\boldsymbol{E}^L=-\operatorname{grad} \phi$ ,我们看到这三个字段 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{E}^T$ 和 $\phi$ 求解三个椭圆偏微分方程,即 (1.121) 和
$$
-\Delta \phi=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, \quad \operatorname{curl} \boldsymbol{E}^T=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}, \quad \operatorname{div} \boldsymbol{E}^T=0
$$

物理代写|电磁学代写electromagnetism代考

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