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物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Coupled Approximate Models
When considering the Vlasov-Maxwell model, in many cases, the interactions between particles are mainly electrostatic; the self-consistent magnetic field is negligible. Furthermore, particles have velocities that are much smaller than $c$ : they obey the non-relativistic dynamic. So, one reverts to the position-velocity description of phase space $(x, v) \in \mathbb{R}_x^3 \times \mathbb{R}_v^3$; in addition. in the Lorentz force. the term $v \times \boldsymbol{B}$ is negligible before $\boldsymbol{E}$, unless there is a strong external magnetic field (as in tokamaks, for instance). One replaces the Maxwell’s equations with an electric quasi-static model; and the magnetic part (1.114)-(1.115) is irrelevant. The electric part (1.112)-(1.113) is rephrased as $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} \phi$ and $-\Delta \phi=\varrho / \varepsilon_0$. Thus, we arrive at the Vlasov-Poisson system:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial t}+v \cdot \nabla_x f-\frac{q}{m} \nabla_x \phi \cdot \nabla_v f &=0 ; \
-\Delta_x \phi &=\frac{\varrho}{\varepsilon_0},
\end{aligned}
$$
with $\varrho$ given by (1.82). Also, there exist intermediate models such as VlasovDarwin, which couples Eq. (1.87) with the model of Sect. 1.4.4 (see, for instance, $[7,36])$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Standard Differential Operators
Let us begin by recalling the definitions of the four operators grad, div, $\Delta$ and curl, which we use throughout this book.
Let $E_n$ be a finite-dimensional Euclidean space of dimension $n$, endowed with the scalar product ‘, and let $A_n$ be an affine space over $E_n$. Furthermore, let $U$ be an open subset of $A_n$. Respectively introduce a scalar field on $U, f: U \rightarrow \mathbb{R}$, and a vector field on $U, f: U \rightarrow E_n$.
Assume that $f$ is differentiable at $M \in U$, and let $D f(M)$ be its differential at $M$. Then, the gradient of $f$ at $M$ is defined by
$$
\operatorname{grad} f(M) \cdot v:=D f(M) \bullet v, \quad \forall v \in E_n .
$$
Provided that $f$ is differentiable on $U$, the vector field $M \mapsto \operatorname{grad} f(M)$ is called the gradient of $f$ on $U$. The operator, grad, is called the gradient operator.
Assume that $f$ is differentiable at $M \in U$, then the divergence of $f$ at $M$ is définéd by
$$
\operatorname{div} f(M):=\operatorname{tr}(D f(M)),
$$
where tr denotes the trace of a linear operator. Provided that $f$ is differentiable on $U$, the scalar field $M \mapsto \operatorname{div} f(M)$ is called the divergence of $f$ on $U$. The operator, div, is called the divergence operator.
Assume that $f$ is twice differentiable at $M \in U$, then the Laplacian of $f$ at $M$ is defined by
$$
\Delta f(M):=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)(M)
$$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Coupled Approximate Models
在考虑 Vlasov-Maxwell 模型时，在很多情况下，粒子之间的相互作用主要是静电的；自洽磁场可以忽略 不计。此外，粒子的速度远小于 $c$ : 他们服从非相对论动力学。因此，回到相空间的位置-速度描述 $(x, v) \in \mathbb{R}_x^3 \times \mathbb{R}_v^3$; 此外。在洛伦兹力。期限 $v \times \boldsymbol{B}$ 之前可以忽略不计 $\boldsymbol{E}$ ，除非有强大的外部磁场（例如 在托卡马克中）。一个用电准静态模型代替麦克斯韦方程组; 和磁性部分 (1.114) – (1.115) 无关。电气 部分 (1.112)-(1.113) 改写为 $\boldsymbol{E}=-\operatorname{grad} \phi$ 和 $-\Delta \phi=\varrho / \varepsilon_0$. 因此，我们到达了 Vlasov-Poisson 系统:
$$
\frac{\partial f}{\partial t}+v \cdot \nabla_x f-\frac{q}{m} \nabla_x \phi \cdot \nabla_v f=0 ;-\Delta_x \phi=\frac{\varrho}{\varepsilon_0},
$$
和 $\varrho$ 由 (1.82) 给出。此外，还有中间模型，例如 VlasovDarwin，它耦合了 Eq。(1.87) 与 Sect 的模型。 1.4.4（参见，例如， $[7,36])$
物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Standard Differential Operators
让我们首先回顾一下四个运算符 grad、div、 $\Delta$ 和 curl，我们在整本书中都会用到它。
让 $E_n$ 是一个有限维欧几里得空间 $n$ ，赋予标量积 ‘，并让 $A_n$ 是一个仿射空间 $E_n$. 此外，让 $U$ 是的一个开放子 集 $A_n$. 分别引入一个标量场 $U, f: U \rightarrow \mathbb{R}$, 和一个向量场 $U, f: U \rightarrow E_n$.
假使，假设 $f$ 可微分于 $M \in U$ ，然后让 $D f(M)$ 成为它的微分 $M$. 那么，梯度 $f$ 在 $M$ 定义为 $\operatorname{grad} f(M) \cdot v:=D f(M) \bullet v, \quad \forall v \in E_n .$
前提是 $f$ 是可微的 $U$ ，向量场 $M \mapsto \operatorname{grad} f(M)$ 被称为梯度 $f$ 上 $U$. 算子 $\operatorname{grad}$ 称为梯度算子。
假使，假设 $f$ 可微分于 $M \in U$ ，然后的散度 $f$ 在 $M$ 定义为
$$
\operatorname{div} f(M):=\operatorname{tr}(D f(M))
$$
其中 $\operatorname{tr}$ 表示线性算子的迹。前提是 $f$ 是可微的 $U$ ，标量场 $M \mapsto \operatorname{div} f(M)$ 称为散度 $f$ 上 $U$. 运算符 $\operatorname{div}$ 称为 散度运算符。
$$
\Delta f(M):=\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)(M)
$$
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