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统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Using a Single Indicator Variable
First, notice that we snuck in a term, “level,” into the title of this section. The term “level” means “distinct value.” So, the “degree” variable in the GPA data set discussed in Chapter 6 has two levels, “M” and “P.” Another example is gender: If a survey question asks the respondent to identify their gender, the resulting Gender variable has two levels, “Female” and “Male.” In data where each observation is a firm, or company (called firmlevel data analysis), you might have publicly held and privately held firms in your data set. This information might be recorded in a variable called PUBLIC, with values “Yes” and “No.” In this case, the PUBLIC variable has two levels, “Yes” and “No.” If ethnicity is recorded in a survey, there will usually be more than two possibilities. Suppose there are 7 distinct ethnicities a person may identify with, including an “Other” category. Then the ETHNICITY variable will have 7 levels.
Consider the GPA prediction example, using only the “degree” variable to predict it. For now, let’s code “PhD” as 1 and “Master’s” as 0. (You can code it the other way, too, as $(0,1)$. We will do that right after we do it this way so we can compare results.) Call the resulting $(1,0)$ indicator variable “PHD.”
The classical regression model states as follows:
$$
\mathrm{GPA} \mid \mathrm{PHD}=x \sim \mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)
$$
Equivalently,
$$
\mathrm{GPA}=\beta_0+\beta_1 \mathrm{PHD}+\varepsilon \text {, where } \varepsilon \sim \mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)
$$
Drawing a scatterplot is always the best first step in the analysis of regression data; in this case, it appears as shown in Figure 10.1, with the least-squares line superimposed.
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Full Model versus Restricted Model F Tests
As we have mentioned repeatedly, tests of hypotheses are not the best way to evaluate models and assumptions. However, the $F$ test that was introduced in Chapter 8 is so common in the history of ANOVA, ANCOVA, and regression that we would be remiss not to mention it.
Models such as those shown in Figures $10.7$ and $10.6$ are often compared by using the F test, which is a test to compare “full” versus “restricted” classical regression models. (For models other than the classical regression model, full/restricted model comparison is more commonly done using the likelihood ratio test, which is used starting in Chapter 12 of this book.)
In the usual regression analysis, a full model typically has the form:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\ldots+\beta_k X_k+\varepsilon
$$
Here, the parameters $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots$, and $\beta_k$ are unconstrained; that is, each parameter can possibly take any value whatsoever between $-\infty$ and $\infty$, and the value that one $\beta$ parameter takes is not dependent on (or constrained by) the value that any other $\beta$ parameter takes.
A restricted model is the same model, but with constraints on the parameters. The most common restrictions are constraints such as $\beta_1=\beta_2=0$, although other constraints such as $\beta_2=1$, or $\beta_1-\beta_2=0$, or $\beta_0+15 \beta_2=100$ are also possible.
The separate slope model graphed in Figure $10.7$ is a full model relative to the restricted model that constrains all the interaction $\beta$ ‘s to be zero, shown in Figure 10.6. The $F$ test can be used to compare these models. To construct the $F$ test, let $\mathrm{SSE}{\mathrm{F}}$ denote the error sum of squares in the full model, and let $\mathrm{SSE}{\mathrm{R}}$ denote the error sum of squares in the restricted model. It is a mathematical fact that
$$
\mathrm{SSE}{\mathrm{F}} \leq \mathrm{SSE}{\mathrm{R}}
$$
This is an important point, so it bears more explanation. Recall $\operatorname{SSE}\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)=$ $\sum_{i=1}^n\left{y_i-\left(b_0+b_1 x_{i 1}+\cdots+b_k x_{i k}\right)\right}^2$. Now, the least-squares algorithm tells you that SSE $_{\mathrm{F}}$ is the minimum value of $\operatorname{SSE}\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)$ for all possible combinations $\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)$.
In the restricted model, some of the $b$ values are constrained, e.g., to 0 . Therefore, the set of possible combinations $\left{b_0, b_1, \ldots, b_k\right}$ in the restricted model is a subset of the set of possible combinations $\left{b_0, b_1, \ldots, b_k\right}$ in the unrestricted model. Thus, $\mathrm{SSE}{\mathrm{R}}$ is the minimum of $\operatorname{SSE}\left(b_0, b_i, \ldots, b_k\right)$ over a set of values $\left{b_0, b_1, \ldots, b_k\right}$ that is a subset of the unrestricted set. The minimum of a set of values has to be as small, or smaller than the minimum of any subset, right? That fact proves $\mathrm{SSE}{\mathrm{F}} \leq \mathrm{SSE}_{\mathrm{R}}$.
For example, the minimum of the set of numbers $(7,4,3,5,0,4,4,3,5,4}$ is zero. Now, pick a subset of that set, like the first four: $(7,4,3,5)$. The minimum of the subset (the restricted set) is three, which is larger than zero.
Thus, even when the restricted model is the true model, the full model will appear to fit better (or at least no worse), because $\mathrm{SSE}{\mathrm{F}} \leq \mathrm{SSE}{\mathrm{R}}$.
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Using a Single Indicator Variable
首先，请注意我们在本节的标题中加入了一个术语”级别”。”水平”一词的意思是“独特的价值“。因此，第 6 章讨论的 GPA 数据集中的”度”变量有两个级别，” $M$ “和” $P$ “。另一个例子是性别：如果一个调查问题要求受 访者确定他们的性别，则生成的性别变量有两个级别，“女性”和“男性”。在每个观察值都是公司或公司的 数据中 (称为公司级数据分析)，您的数据集中可能有上市公司和私营公司。此信息可能记录在名为 PUBLIC 的变量中，其值为“Yes”和“No”。在这种情况下，PUBLIC 变量有两个级别，“是”和“否”。如果在调 查中记录种族，通常会有两种以上的可能性。假设一个人可能认同 7 个不同的种族，包括“其他”类别。那 么 ETHNICITY 变量将有 7 个级别。
考虑 GPA 预测示例，仅使用“度“变量来预测它。现在，让我们将“PhD”编码为 1 ，将”Master’s”编码为 0 。 (您也可以将其编码为其他方式，如 $(0,1)$. 我们将在我们这样做之后立即这样做，以便我们可以比较结 果。) 调用结果 $(1,0)$ 指示变量”PHD”。
经典回归模型如下:
$$
\mathrm{GPA} \mid \mathrm{PHD}=x \sim \mathrm{N}\left(\beta_0+\beta_1 x, \sigma^2\right)
$$
等效地,
$$
\mathrm{GPA}=\beta_0+\beta_1 \mathrm{PHD}+\varepsilon, \text { where } \varepsilon \sim \mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)
$$
绘制散点图始炵是回归数据分析中最好的第一步；在这种情况下，它如图 $10.1$ 所示，亘加了最小二乘线。
统计代写|回归分析作业代写Regression Analysis代考|Full Model versus Restricted Model F Tests
正如我们反复提到的，假设检验并不是评估模型和假设的最佳方式。但是，那 $F$ 第 8 章中介绍的检验在 ANOVA、ANCOVA 和回归的历史中非常常见，以至于我们不得不提及它。
如图所示的模型 $10.7$ 和 $10.6$ 通常使用 F 检验进行比较，这是一种比较“完全”与”受限”经典回归模型的检 验。(对于经典回归模型以外的模型，完整/受限模型比较更常用的是似然比检验，从本书第 12 章开始使 用。)
在通常的回归分析中，完整模型通常具有以下形式:
$$
Y=\beta_0+\beta_1 X_1+\beta_2 X_2+\ldots+\beta_k X_k+\varepsilon
$$
在这里，参数 $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots ，$ 和 $\beta_k$ 不受约束；也就是说，每个参数都可能取任何值 $-\infty$ 和 $\infty$ ，以及一个 值 $\beta$ 参数采用不依赖于 (或受其约束) 任何其他参数的值 $\beta$ 参数采用。
受限模型是相同的模型，但对参数有约束。最常见的限制是约束，例如 $\beta_1=\beta_2=0$ ，尽管其他约束，例 如 $\beta_2=1$ ，或者 $\beta_1-\beta_2=0$ ，或者 $\beta_0+15 \beta_2=100$ 也是可能的。
如图所示的分离斜率模型10.7是相对于约束所有交互的受限模型的完整模型 $\beta^{\prime}$ 为零，如图 $10.6$ 所示。这 $F$ test 可以用来比较这些模型。构建 $F$ 测试，让SSEF 表示完整模型中的误差平方和，并让SSER 表示受 限模型中的误差平方和。这是一个数学事实
$$
\mathrm{SSEF} \leq \mathrm{SSER}
$$
这是很重要的一点，所以需要更多的解释。记起SSE $\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)=$ 是最小值SSE $\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)$ 对于所有可能的组合 $\left(b_0, b_1, \ldots, b_k\right)$.
在受限模型中，一些 $b$ 值被限制为例如 0 。因此，可能的组合集合 Veft{b_o, b_1,Ydots, b_k|right $}$ 在受限模型 中是可能组合集合的子集 \left{b_0, b_1，Vdots, b_k\right }在不受限制的模型中。因此，SSER是最小值 $\operatorname{SSE}\left(b_0, b_i, \ldots, b_k\right)$ 在一组值上 \eft{b_0, b_1，\ldots, b_k\right } \text { 那是不受限制的集合的子集。一组值的最小 } 值必须小于或小于任何子集的最小值，对吧? 这个事实证明SSEF $\leq \mathrm{SSE}_{\mathrm{R}}$.
例如，一组数字的最小值 $(7,4,3,5,0,4,4,3,5,4}$ 为零。现在，选择该集合的一个子集，例如前四个: $(7,4,3,5)$. 子集 (受限集) 的最小值为三，大于零。
因此，即使受限模型是真实模型，完整模型也会看起来更好（或至少不会更差)，因为SSEF $\leq$ SSER.
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