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Ordinal variables are discrete variables, typically with only a few levels, where the levels have numerical meaning. A perfect example is the $1,2,3,4$, or 5 response you give to a survey item, such as “Rate your satisfaction with our customer service.” Another example occurs in the Charity data set: The variable DEPS (number of claimed dependents) takes the values $0,1,2, \ldots, 6$. An example where a discrete variable with few numerical levels is not an ordinal variable is the MAJOR variable of the GPA data set, which has levels 2, 66, 70, 114, 115, 118, and 203: Since these levels refer to distinct majors, they have no numeric meaning. In other words, 2 is not less than 66 when these numbers refer to MAJOR categories. (MS Accounting is not “less than” MS Finance.) Instead, MAJOR is a nominal variable, not an ordinal variable, despite having numerical values in the data set.
Linearity is nearly always wrong, as discussed in Chapter 1 . When an $X$ variable is ordinal, the cause of the nonlinearity is often due to spacing between the ordinal levels. For example, the difference between people with 0 versus 1 dependent might be much greater than the difference between people with 1 versus 2 dependents. Similarly, a survey taker might view the difference between a ” 1 ” versus ” 2 ” response as being much greater than the difference between a ” 2 ” versus ” 3 ” response.

Fortunately, with ordinal $X$ data, there are few levels of the variable, which in turn generally implies much data per level (roughly $\mathrm{m} / \mathrm{g}$ data values per level, assuming $g$ levels). Thus, it is easy to construct accurate estimates of the within-level mean values without having to rely on the linearity assumption. You can do this using indicator variables.
Consider the analysis of the charitable contribution data, and model the mean charitable contributions (CHARITY) as a function of number dependents (DEPS). Clearly, Income will be a better explanatory variable, but number of dependents is also interesting, so let’s expand the model to include income and number of dependents. Both INCOME and CHARITY are expressed in terms of natural logarithms of the actual dollar amounts in the code below.

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No matter whether the indicator variable model or the linear model was used, the charitable contributions example given above was strange, in that it predicts greater charitable contributions for people with more dependents, even when they have identical income. A possible explanation for this contradiction is that there are unobserved confounding variables. As noted in Chapter 6, confounding variables make causal claims dubious.

One possible unobserved confounding variable is Religiosity: Recall the two sets of potentially observable people identified above: (i) Those reporting 50,000 income and 3 dependents, and (ii) Those with 50,000 income and 4 dependents. It may be the case that in the group of people with 4 dependents you find a greater percentage of religious people, and that such a difference is even more pronounced when comparing the DEPS $=6$ and DEPS $=0$ groups. In general, one might surmise that, among the larger families, there is a greater percentage of religious people, or at least that the degree of religiosity among larger families is generally higher. If this is so, then the increasing effect of DEPS on CHARITY is not caused by DEPS at all; instead, it is caused by the fact that people with more DEPS tend to donate more money to their religious organizations. These donations are lumped into “Charitable contributions” on their tax returns.

Or it could be that people with more children simply tend to be more charitable because people with children tend to be more humanitarian. Thus, Humanitarianism is another possible unobserved confounding variable. There can be myriad other unobserved confounding variables as well.

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序数变量是离散变量,通常只有几个级别,其中级别具有数值含义。一个完美的例子是1,2,3,4,或您对调查项目的 5 个回复,例如“评价您对我们客户服务的满意度”。另一个例子出现在 Charity 数据集中:变量 DEPS(声称的家属人数)取值0,1,2,…,6. 具有很少数值级别的离散变量不是序数变量的示例是 GPA 数据集的 MAJOR 变量,其级别为 2、66、70、114、115、118 和 203:因为这些级别指的是不同的专业,它们没有数字含义。换言之,当这些数字涉及主要类别时,2 不小于 66。(MS 会计不是“小于”MS Finance。)相反,MAJOR 是一个名义变量,而不是序数变量,尽管数据集中有数值。
正如第 1 章所讨论的,线性几乎总是错误的。当一个X变量是有序的,非线性的原因通常是由于序数水平之间的间距。例如,有 0 个受抚养人与 1 个受抚养人之间的差异可能远大于有 1 个受抚养人与 2 个受抚养人之间的差异。同样,调查人员可能会认为“1”与“2”响应之间的差异远大于“2”与“3”响应之间的差异。

幸运的是,用序数X数据,变量的级别很少,这反过来通常意味着每个级别有很多数据(大约米/G每个级别的数据值,假设G水平)。因此,无需依赖线性假设即可轻松构建级别内平均值的准确估计。您可以使用指标变量来做到这一点。
考虑对慈善捐款数据的分析,并将平均慈善捐款 (CHARITY) 建模为受抚养人 (DEPS) 的函数。显然,收入将是一个更好的解释变量,但受抚养人的数量也很有趣,所以让我们扩展模型以包括收入和受抚养人的数量。INCOME 和 CHARITY 都以下面代码中实际美元金额的自然对数表示。

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无论使用指标变量模型还是线性模型,上面给出的慈善捐款示例都很奇怪,因为它预测有更多受抚养人的人会获得更大的慈善捐款,即使他们的收入相同。对这种矛盾的一种可能解释是存在未观察到的混杂变量。如第 6 章所述,混杂变量使因果声明变得可疑。

一个可能的未观察到的混杂变量是宗教信仰:回想一下上面确定的两组潜在可观察的人:(i)那些报告 50,000 收入和 3 个受抚养人的人,以及(ii)那些拥有 50,000 收入和 4 个受抚养人的人。在有 4 个受抚养人的人群中,您可能会发现宗教人士的比例更高,并且在比较 DEPS 时,这种差异更加明显=6和 DEPS=0团体。一般来说,人们可能会推测,在较大的家庭中,有宗教信仰的人的比例更大,或者至少在较大的家庭中,宗教信仰的程度通常更高。如果是这样,那么 DEPS 对 CHARITY 的增加影响根本不是由 DEPS 引起的;相反,这是因为拥有更多 DEPS 的人倾向于向他们的宗教组织捐款更多。这些捐款在他们的纳税申报表上被归为“慈善捐款”。

也可能是有更多孩子的人更倾向于慈善,因为有孩子的人更倾向于人道主义。因此,人道主义是另一个可能未被观察到的混杂变量。也可能有无数其他未观察到的混杂变量。

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