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统计代写|线性回归代写linear regression代考|Diagnostics

Automatic or blind use of regression models, especially in exploratory work, all too often leads to incorrect or meaningless results and to confusion rather than insight. At the very least, a user should be prepared to make and study a number of plots before, during, and after fitting the model.
Chambers et al. (1983, p. 306 )
Diagnostics are used to check whether model assumptions are reasonable. This section focuses on diagnostics for the unimodal $M L R$ model $Y_i=\boldsymbol{x}i^T \boldsymbol{\beta}+e_i$ for $i=1, \ldots, n$ where the errors are iid from a unimodal distribution that is not highly skewed with $\mathrm{E}\left(e_i\right)=0$ and $\operatorname{VAR}\left(e_i\right)=\sigma^2$. See Definition 2.6. It is often useful to use notation to separate the constant from the nontrivial predictors. Assume that $\boldsymbol{x}_i=\left(1, x{i, 2}, \ldots, x_{i, p}\right)^T \equiv\left(1, \boldsymbol{u}i^T\right)^T$ where the $(p-1) \times 1$ vector of nontrivial predictors $\boldsymbol{u}_i=\left(x{i, 2}, \ldots, x_{i, p}\right)^T$. In matrix form,
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}, \
\boldsymbol{X}=\left[X_1, X_2, \ldots, X_p\right]=[\mathbf{1}, \boldsymbol{U}]
\end{gathered}
$$

1 is an $n \times 1$ vector of ones, and $\boldsymbol{U}=\left[X_2, \ldots, X_p\right]$ is the $n \times(p-1)$ matrix of nontrivial predictors. The $k$ th column of $U$ is the $n \times 1$ vector of the $j$ th predictor $X_j=\left(x_{1, j}, \ldots, x_{n, j}\right)^T$ where $j=k+1$. The sample mean and covariance matrix of the nontrivial predictors are
$$
\overline{\boldsymbol{u}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{u}i $$ and $$ \boldsymbol{C}=\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U})=\frac{1}{n-1} \sum{i=1}^n\left(\boldsymbol{u}_i-\overline{\boldsymbol{u}}\right)\left(\boldsymbol{u}_i-\overline{\boldsymbol{u}}\right)^T
$$
respectively, where $\boldsymbol{u}_i^T$ is the $i$ th row of $\boldsymbol{U}$.

统计代写|线性回归代写linear regression代考|Outlier Detection

Definition 3.12. Outliers are cases that lie far from the bulk of the data. Hence $Y$ outliers are cases that have unusually large vertical distances from the MLR fit to the bulk of the data while $\boldsymbol{x}$ outliers are cases with predictors $\boldsymbol{x}$ that lie far from the bulk of the $\boldsymbol{x}_i$. Suppose that some analysis to detect outliers is performed. Masking occurs if the analysis suggests that one or more outliers are in fact good cases. Swamping occurs if the analysis suggests that one or more good cases are outliers.

The residual and response plots are very useful for detecting outliers. If there is a cluster of cases with outlying $Y \mathrm{~s}$, the identity line will often pass through the outliers. If there are two clusters with similar $Y \mathrm{~s}$, then the two plots may fail to show the clusters. Then using methods to detect $\boldsymbol{x}$ outliers may be useful.

Let the $q$ continuous predictors in the MLR model be collected into vectors $\boldsymbol{u}_i$ for $i=1, \ldots, n$. Let the $n \times q$ matrix $\boldsymbol{W}$ have $n$ rows $\boldsymbol{u}_1^T, \ldots, \boldsymbol{u}_n^T$. Let the $q \times 1$ column vector $T(\boldsymbol{W})$ be a multivariate location estimator, and let the $q \times q$ symmetric positive definite matrix $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{W})$ be a covariance estimator. Often $q=p-1$ and only the constant is omitted from $\boldsymbol{x}_i$ to create $\boldsymbol{u}_i$.
Definition 3.13. The $i$ th squared Mahalanobis distance is
$$
D_i^2=D_i^2(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{C}(\boldsymbol{W}))=\left(\boldsymbol{u}_i-T(\boldsymbol{W})\right)^T \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{W})\left(\boldsymbol{u}_i-T(\boldsymbol{W})\right)
$$
for each point $\boldsymbol{u}_i$. Notice that $D_i^2$ is a random variable (scalar valued).

统计代写|线性回归代写linear regression代考|Diagnostics

回归模型的自动或盲目使用，尤其是在探索性工作中，往往会导致不正确或无意义的结果，并导致混乱而 不是洞察力。至少，用户应该准备好在拟合模型之前、期间和之后制作和研究许多图。
钱伯斯等人。(1983, p. 306)
诊断用于检查模型假设是否合理。本节重点介绍单峰的诊断 $M L R$ 模型 $Y_i=\boldsymbol{x} i^T \boldsymbol{\beta}+e_i$ 为了 $i=1, \ldots, n$ 其中误差来自一个不高度偏斜的单峰分布 $\mathrm{E}\left(e_i\right)=0$ 和 $\operatorname{VAR}\left(e_i\right)=\sigma^2$. 见定义 2.6。使用符号将常数与非 平凡预测变量分开通常很有用。假使，假设 $\boldsymbol{x}i=\left(1, x i, 2, \ldots, x{i, p}\right)^T \equiv\left(1, \boldsymbol{u} i^T\right)^T$ 在哪里 $(p-1) \times 1$ 非平凡预测变量的向量 $\boldsymbol{u}i=\left(x i, 2, \ldots, x{i, p}\right)^T$. 以矩阵形式，
$$
\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}, \boldsymbol{X}=\left[X_1, X_2, \ldots, X_p\right]=[\mathbf{1}, \boldsymbol{U}]
$$
1 是一个 $n \times 1$ 个向量，和 $\boldsymbol{U}=\left[X_2, \ldots, X_p\right]$ 是个 $n \times(p-1)$ 非平凡预测变量矩阵。这 $k$ 第列 $U$ 是个 $n \times 1$ 的向量 $j$ 预测器 $X_j=\left(x_{1, j}, \ldots, x_{n, j}\right)^T$ 在哪里 $j=k+1$. 非平凡预测变量的样本均值和协方差矩阵 为
$$
\overline{\boldsymbol{u}}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \boldsymbol{u} i
$$
和
$$
\boldsymbol{C}=\operatorname{Cov}(\boldsymbol{U})=\frac{1}{n-1} \sum i=1^n\left(\boldsymbol{u}_i-\overline{\boldsymbol{u}}\right)\left(\boldsymbol{u}_i-\overline{\boldsymbol{u}}\right)^T
$$
分别，其中 $\boldsymbol{u}_i^T$ 是个 $i$ 第 行 $\boldsymbol{U}$.

统计代写|线性回归代写linear regression代考|Outlier Detection

定义 3.12。异常值是远离大量数据的穾例。因此 $Y$ 异常值是从 MLR 拟合到大量数据的垂直距离异常大的 情况，而 $\boldsymbol{x}$ 异常值是具有预测变量的案例 $\boldsymbol{x}$ 远离大部分 $\boldsymbol{x}_i$. 假设执行了一些分析来检测异常值。如果分析表 明一个或多个异常值实际上是好的案例，则会发生掩蔽。如果分析表明一个或多个好的案例是异常值，就 会发生沼泽化。
残差图和响应图对于检测异常值非常有用。如果有离群的病例群 $Y \mathrm{~s}$, 恒等线往往会穿过异常值。如果有两 个相似的簇 $Y \mathrm{~s}$ ，那么这两个图可能无法显示聚类。然后使用方法检测 $x$ 异常值可能有用。
让 $q \mathrm{MLR}$ 模型中的连续预测变量被收集到向量中 $\boldsymbol{u}_i$ 为了 $i=1, \ldots, n$. 让 $n \times q$ 矩阵 $\boldsymbol{W}$ 有 $n$ 行 $\boldsymbol{u}_1^T, \ldots, \boldsymbol{u}_n^T$. 让 $q \times 1$ 列向量 $T(\boldsymbol{W})$ 是一个多元位置估计器，并且让 $q \times q$ 对称正定矩阵 $\boldsymbol{C}(\boldsymbol{W})$ 是协方差估计量。经常 $q=p-1$ 并且只有常数被省略 $\boldsymbol{x}_i$ 去创造 $\boldsymbol{u}_i$.
定义 3.13。这 $i$ th 平方马氏距离是
$$
D_i^2=D_i^2(T(\boldsymbol{W}), \boldsymbol{C}(\boldsymbol{W}))=\left(\boldsymbol{u}_i-T(\boldsymbol{W})\right)^T \boldsymbol{C}^{-1}(\boldsymbol{W})\left(\boldsymbol{u}_i-T(\boldsymbol{W})\right)
$$
对于每个点 $\boldsymbol{u}_i$. 请注意 $D_i^2$ 是一个随机变量 (标量值)。

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