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统计代写|线性回归代写linear regression代考|Variable Selection
Variable selection, also called subset or model selection, is the search for a subset of predictor variables that can be deleted without important loss of information. A model for variable selection in multiple linear regression can be described by
$$
Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e=\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+\boldsymbol{x}_E^T \boldsymbol{\beta}_E+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+e
$$
where $e$ is an error, $Y$ is the response variable, $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$ is a $p \times 1$ vector of predictors, $\boldsymbol{x}_S$ is a $k_S \times 1$ vector, and $\boldsymbol{x}_E$ is a $\left(p-k_S\right) \times 1$ vector. Given that $\boldsymbol{x}_S$ is in the model, $\boldsymbol{\beta}_E=\mathbf{0}$ and $E$ denotes the subset of terms that can be eliminated given that the subset $S$ is in the model.
Since $S$ is unknown, candidate subsets will be examined. Let $\boldsymbol{x}_I$ be the vector of $k$ terms from a candidate subset indexed by $I$, and let $x_O$ be the vector of the remaining predictors (out of the candidate submodel). Then
$$
Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+\boldsymbol{x}_O^T \boldsymbol{\beta}_O+e .
$$
Definition 3.7. The model $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e$ that uses all of the predictors is called the full model. A model $Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+e$ that only uses a subset $\boldsymbol{x}_I$ of the predictors is called a submodel. The full model is always a submodel. The sufficient predictor $(\mathrm{SP})$ is the linear combination of the predictor variables used in the model. Hence the full model has $S P=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ and the submodel has $S P=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I$.
统计代写|线性回归代写linear regression代考|Bootstrapping Variable Selection
The bootstrap will be described and then applied to variable selection. Suppose there is data $\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ collected from a distribution with cdf $F$ into an $n \times p$ matrix $\boldsymbol{W}$. The empirical distribution, with cdf $F_n$, gives each observed data case $\boldsymbol{w}_i$ probability $1 / n$. Let the statistic $T_n=t(\boldsymbol{W})=t\left(F_n\right)$ be computed from the data. Suppose the statistic estimates $\boldsymbol{\mu}=t(F)$. Let $t\left(\boldsymbol{W}^\right)=t\left(F_n^\right)=T_n^*$ indicate that $t$ was computed from an iid sample from the empirical distribution $F_n$ : a sample of size $n$ was drawn with replacement from the observed sample $\boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$.
Some notation is needed to give the Olive (2013a) prediction region used to bootstrap a hypothesis test. Suppose $\boldsymbol{w}1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ are iid $p \times 1$ random vectors with mean $\boldsymbol{\mu}$ and nonsingular covariance matrix $\boldsymbol{\Sigma}{\boldsymbol{w}}$. Let a future test observation $\boldsymbol{w}f$ be independent of the $\boldsymbol{w}_i$ but from the same distribution. Let $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$ be the sample mean and sample covariance matrix where $$ \overline{\boldsymbol{w}}=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n \boldsymbol{w}i \text { and } \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S} \boldsymbol{w}=\frac{1}{\mathrm{n}-1} \sum{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}}\left(\boldsymbol{w}{\mathrm{i}}-\overline{\boldsymbol{w}}\right)\left(\boldsymbol{w}{\mathrm{i}}-\overline{\boldsymbol{w}}\right)^{\mathrm{T}}
$$
Then the $i$ th squared sample Mahalanobis distance is the scalar
$$
D_{\boldsymbol{w}}^2=D_{\boldsymbol{w}}^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})=(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})^T \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}}) .
$$
Let $D_i^2=D_{\boldsymbol{w}i}^2$ for each observation $\boldsymbol{w}_i$. Let $D{(c)}$ be the $c$ th order statistic of $D_1, \ldots, D_n$. Consider the hyperellipsoid
$$
\mathcal{A}n=\left{\boldsymbol{w}: D{\tilde{\boldsymbol{w}}}^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S}) \leq D_{(c)}^2\right}=\left{\boldsymbol{w}: D_{\boldsymbol{w}}(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S}) \leq D_{(c)}\right}
$$
If $n$ is large, we can use $c=k_n=\lceil n(1-\delta)\rceil$. If $n$ is not large, using $c=$ $U_n$ where $U_n$ decreéses to $k_n$, can improye small sample performance. Olivê (2013a) showed that $(3.10)$ is a large sample $100(1-\delta) \%$ prediction region for a large class of distributions, although regions with smaller volumes may exist.
统计代写|线性回归代写linear regression代考|Variable Selection
变量选择，也称为子集或模型选择，是对预测变量子集的搜索，这些预测变量可以在不丢失重要信息的情 况下删除。多元线性回归中的变量选择模型可以描述为
$$
Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e=\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{x}+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+\boldsymbol{x}_E^T \boldsymbol{\beta}_E+e=\boldsymbol{x}_S^T \boldsymbol{\beta}_S+e
$$
在哪里 $e$ 是一个错误， $Y$ 是响应变量， $\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}_S^T, \boldsymbol{x}_E^T\right)^T$ 是一个 $p \times 1$ 预测变量向量， $\boldsymbol{x}_S$ 是一个 $k_S \times 1$ 向 量，和 $\boldsymbol{x}_E$ 是一个 $\left(p-k_S\right) \times 1$ 向量。鉴于 $\boldsymbol{x}_S$ 在模型中， $\boldsymbol{\beta}_E=0$ 和 $E$ 表示在给定子集的情况下可以消除 的项的子集 $S$ 是在模型中。
自从 $S$ 是末知的，将检亘候选子集。让 $x_I$ 成为的向量 $k$ 候选子集中的术语 $I$ ，然后让 $x_O$ 是剩余预测变量的 向量 (在候选子模型之外) 。然后
$$
Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+\boldsymbol{x}_O^T \boldsymbol{\beta}_O+e .
$$
定义 3.7。该模型 $Y=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}+e$ 使用所有预测变量的模型称为完整模型。一个模型 $Y=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I+e$ 只使 用一个子集 $x_I$ 的预测变量称为子模型。完整模型始終是子模型。充分的预测器 $(\mathrm{SP})$ 是模型中使用的预测 变量的线性组合。因此完整的模型有 $S P=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ 并且子模型有 $S P=\boldsymbol{x}_I^T \boldsymbol{\beta}_I$.
统计代写|线性回归代写linear regression代考|Bootstrapping Variable Selection
将描述引导程序，然后将其应用于变量选择。假设有数据 $\boldsymbol{w}1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ 从带有 $c d f$ 的发行版中收集 $F$ 成一 个 $n \times p$ 矩阵 $\boldsymbol{W}$. 经验分布，带 $c d f F_n$ ，给出每个观察到的数据情况 $\boldsymbol{w}_i$ 可能性 $1 / n$. 让统计 $T_n=t(\boldsymbol{W})=t\left(F_n\right)$ 从数据中计算出来。假设统计估计 $\mu=t(F)$. 让 大小样本 $n$ 从观察到的样本中进行替换 $w_1, \ldots, w_n$. 需要一些符号来给出用于引导假设检验的 Olive (2013a) 预测区域。认为 $\boldsymbol{w} 1, \ldots, \boldsymbol{w}_n$ 是独立同居 $p \times 1$ 具 有均值的随机向量 $\boldsymbol{\mu}$ 和非奇异协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{w}$. 让末来的测试观察 $\boldsymbol{w} f$ 独立于 $\boldsymbol{w}_i$ 但来自相同的分布。让 $(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})$ 是样本均值和样本协方差矩阵，其中 $$ \overline{\boldsymbol{w}}=\frac{1}{n} \sum i=1^n \boldsymbol{w} i \text { and } \boldsymbol{S}=\boldsymbol{S} \boldsymbol{w}=\frac{1}{\mathrm{n}-1} \sum \mathrm{i}=1^{\mathrm{n}}(\boldsymbol{w} \mathrm{i}-\overline{\boldsymbol{w}})(\boldsymbol{w} \mathrm{i}-\overline{\boldsymbol{w}})^{\mathrm{T}} $$ 然后 $i$ th 平方样本马氏距离是标量 $$ D_w^2=D_w^2(\overline{\boldsymbol{w}}, \boldsymbol{S})=(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}})^T \boldsymbol{S}^{-1}(\boldsymbol{w}-\overline{\boldsymbol{w}}) . $$ 让 $D_i^2=D{w i}^2$ 对于每个观察 $\boldsymbol{w}_i$. 让 $D(c)$ 成为 $c$ 的 th 阶统计量 $D_1, \ldots, D_n$. 考虑超椭球体
如果 $n$ 很大，我们可以使用 $c=k_n=\lceil n(1-\delta)\rceil$. 如果 $n$ 不大，使用 $c=U_n$ 在哪里 $U_n$ 下令 $k_n$ ，可以提高 小样本性能。Olivê (2013a) 表明(3.10) 是一个大样本 $100(1-\delta) \%$ 大类分布的预测区域，尽管可能存在体 积较小的区域。
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