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数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Dynkin’s characteristic operator
We will now give a probabilistic characterization of the infinitesimal generator. As so often, a simple martingale relation turns out to be extremely helpful. The following theorem should be compared with Theorem 5.6. Recall that a Feller process is a (strong ${ }^2$ ) Markov process with right-continuous trajectories whose transition semigroup $\left(P_t\right){t \geqslant 0}$ is a Feller semigroup. Of course, a Brownian motion is a Feller process. 7.21 Theorem. Let $\left(X_t, \mathcal{F}_t\right){t \gtrless 0}$ be a Feller process on $\mathbb{R}^d$ with transition semigroup $\left(P_i\right)_{i \geqslant 0}$ and generator $(A, \mathfrak{D}(A))$. Then
$$
M_t^u:=u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r \text { for all } u \in \mathfrak{D}(A)
$$
is an $\mathcal{F}_t$ martingale.
Proof. Let $u \in \mathfrak{D}(A), x \in \mathbb{R}^d$ and $s, t>0$. By the Markov property (6.4c),
$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}^x\left(M_{s+t}^u \mid \mathcal{F}t\right) \ =& \mathbb{E}^x\left(u\left(X{s+t}\right)-u(x)-\int_0^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right) \
=\mathbb{E}^{X_t} u\left(X_s\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\mathbb{E}^x\left(\int_t^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right) \
=P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\mathbb{E}^{X_t}\left(\int_0^s A u\left(X_r\right) d r\right) \
=P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\int_0^s \mathbb{E}^{X_t}\left(A u\left(X_r\right)\right) d r \
=P_s u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r-\int_0^s P_r A u\left(X_t\right) d r \
&=P_s u\left(X_t\right)-u\left(X_t\right) \text { by }(7.11 c) \
&=u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^u A u\left(X_r\right) d r=M_t^u .
\end{aligned}
$$
The following result, due to Dynkin, could be obtained from Theorem $7.21$ by optional stopping, but we prefer to give an independent proof.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The PDE connection
We want to discuss some relations between partial differential equations (PDEs) and Brownian motion. For many classical PDE problems probability theory yields concrete representation formulae for the solutions in the form of expected values of a Brownian functional. These formulae can be used to get generalized solutions of PDEs (which require less smoothness of the initial/boundary data or the boundary itself) and they are amenable to Monte-Carlo simulations. Purely probabilistic existence proofs for classical PDE problems are, however, rare: Classical solutions require smoothness, which does usually not follow from martingale methods. ${ }^1$ This explains the role of Proposition $7.3 \mathrm{~g})$ and Proposition 8.10. Let us point out that $\frac{1}{2} \Delta$ has two meanings: On the domain $\mathfrak{D}(\Delta)$, it is the generator of a Brownian motion, but it can also be seen as partial differential operator $L=\sum_{j, k=1}^d \partial_j$ which acts on all $\mathrm{C}^2$ functions. Of course, on $\mathcal{C}{\infty}^2$ both meanings coincide, and it is this observation which makes the method work. The origin of the probabilistic approach are the pioneering papers by Kakutani $[96,97]$, Kac $[90,91]$ and Doob [41]. As an illustration of the method we begin with the elementary (inhomogeneous) heat equation. In this context, classical PDE methods are certainly superior to the clumsy-looking Brownian motion machinery. Its elegance and effectiveness become obvious in the Feynman-Kac formula and the Dirichlet problem which we discuss in Sections $8.3$ and 8.4. Moreover, since many second-order differential operators generate diffusion processes, see Chapter 19, only minor changes in our proofs yield similar representation formulae for the corresponding PDE problems. A martingale relation is the key ingredient. Let $\left(B_t, \mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ be a $\mathrm{BM}^d$. Recall from Theorem $5.6$ that for $u \in \mathfrak{C}^{1,2}\left((0, \infty) \times \mathbb{R}^d\right) \cap \mathcal{C}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^d\right)$ satisfying
$$
|u(t, x)|+\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}\right|+\sum_{j=1}^d\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial x_j}\right|+\sum_{j, k=1}^d\left|\frac{\partial^2 u(t, x)}{\partial x_j \partial x_k}\right| \leqslant c(t) e^{C|x|}
$$
for all $t>0$ and $x \in \mathbb{R}^d$ with some constant $C>0$ and a locally bounded function $c:(0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$, the process $M_s^u=u\left(t-s, B_s\right)-u\left(t, B_0\right)+\int_0^s\left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}{2} \Delta_x\right) u\left(t-r, B_r\right) d r, s \in[0, t)$, (8.2) is an $\mathcal{F}_s$ martingale for every measure $\mathbb{P}^x$, i. e. for every starting point $B_0=x$ of a Brownian motion.
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|Dynkin’s characteristic operator
我们现在将给出无穷小生成器的概率特征。通常，一个简单的鞅关系证明是非常有帮助的。以下定理应与 定理 $5.6$ 进行比较。回想一下，Feller 过程是一个 (强 ${ }^2$ ) 具有转移半群的右连续轨迹的马尔可夫过程 $\left(P_t\right) t \geqslant 0$ 是 Feller 半群。当然，布朗运动是一个费勒过程。 $7.21$ 定理。让 $\left(X_t, \mathcal{F}t\right) t \gtrless 0$ 成为 Feller 过程 $\mathbb{R}^d$ 带过渡半群 $\left(P_i\right){i \geqslant 0}$ 和发电机 $(A, \mathfrak{D}(A))$. 然后
$$
M_t^u:=u\left(X_t\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right) d r \text { for all } u \in \mathfrak{D}(A)
$$
是一个 $\mathcal{F}t$ 鞅。 证明。让 $u \in \mathfrak{D}(A), x \in \mathbb{R}^d$ 和 $s, t>0$. 根据马尔可夫性质（6.4c)， $$ \mathbb{E}^x\left(M{s+t}^u \mid \mathcal{F} t\right)=\mathbb{E}^x\left(u(X s+t)-u(x)-\int_0^{s+t} A u\left(X_r\right) d r \mid \mathcal{F}_t\right)=\mathbb{E}^{X_t} u\left(X_s\right)-u(x)-\int_0^t A u\left(X_r\right)
$$
由于 Dynkin，可以从 Theorem 获得以下结果7.21通过可选的停止，但我们更愿意给出一个独立的证明。
数学代写|随机过程统计代写Stochastic process statistics代考|The PDE connection
我们想讨论偏微分方程 (PDE) 和布朗运动之间的一些关系。对于许多经典的 PDE 问题，概率论以布朗泛 函的期望值的形式为解产生具体的表示公式。这些公式可用于获得 PDE 的广义解 (这需要较少的初始/边 界数据或边界本身的平滑度），并且它们适用于 Monte-Carlo 模拟。然而，经典 PDE 问题的纯概率存在性 证明很少见：经典解决方案需要平滑度，而这通常不是来自鞅方法。 ${ }^1$ 这解释了命题的作用 $\left.7.3 \mathrm{~g}\right)$ 和提案 8.10。让我们指出 $\frac{1}{2} \Delta$ 有两个意思：在域上 $\mathfrak{D}(\Delta)$ ，它是布朗运动的生成器，但也可以看作是偏微分算子 $L=\sum_{j, k=1}^d \partial_j$ 作用于所有人 $C^2$ 功能。当然，在 $\mathcal{C} \infty^2$ 两种含义一致，正是这种观察使该方法起作用。概 率方法的起源是角谷的开创性论文 $[96,97]$ ，起床 $[90,91]$ 和杜布[41]。作为该方法的说明，我们从基本 (非均匀) 热方程开始。在这种情况下，经典的 PDE 方法肯定优于看起来笨拙的布朗运动机制。它的优雅 和有效性在我们在章节中讨论的 Feynman-Kac 公式和 Dirichlet 问题中变得显而易见8.3和 8.4。此外，由 于许多二阶微分算子产生扩散过程，见第 19 章，我们的证明中只有微小的变化会为相应的 PDE 问题产生 类似的表示公式。鞅关系是关键因素。让 $\left(B_t, \mathcal{F}t\right) t \geqslant 0$ 做一个 $\mathrm{BM}^d$. 从定理回忆5.6那是为了 $u \in \mathfrak{C}^{1,2}\left((0, \infty) \times \mathbb{R}^d\right) \cap \mathcal{C}\left([0, \infty) \times \mathbb{R}^d\right)$ 令人满意的 $$ |u(t, x)|+\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial t}\right|+\sum{j=1}^d\left|\frac{\partial u(t, x)}{\partial x_j}\right|+\sum_{j, k=1}^d\left|\frac{\partial^2 u(t, x)}{\partial x_j \partial x_k}\right| \leqslant c(t) e^{C|x|}
$$
对所有人 $t>0$ 和 $x \in \mathbb{R}^d$ 有一些常数 $C>0$ 和一个局部有界函数 $c:(0, \infty) \rightarrow[0, \infty)$, 过程 $M_s^u=u\left(t-s, B_s\right)-u\left(t, B_0\right)+\int_0^s\left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{1}{2} \Delta_x\right) u\left(t-r, B_r\right) d r, s \in[0, t),(8.2)$ 是一个 $\mathcal{F}_s$ 每个度 量的鞅 $\mathbb{P}^x$ ，即对于每个起点 $B_0=x$ 的布朗运动。
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