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统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Complex graphs
Over the past few decades, large real-world systems, such as WWW, Internet, social networks, wireless networks, supply-chain networks, are often modeled as a graph for the ease of computational analysis. The interaction relationships across different entities or macromolecules in the biological systems, such as protein-protein interactions (PPI), gene regulation and association, signaling pathways, metabolic activities, neuronal connectivity of a brain, etc., are also modeled as graphs or networks. However, such graphs are not simple graphs as regular graphs. Due to their unconventional topological properties, they are often treated as complex graphs or networks. Unlike conventional graphs, realworld networks exhibit non-trivial topological properties, such as varying degree distributions, high or low clustering coefficients, degree assortativity or average path length of the network. Accordingly, networks are classified into different models.
Before discussing various network models, it is important to understand the topological characteristics of any complex network. Usually, network models are defined based on such characteristics only. Thus we discuss topological characteristics first before introducing available models.
In a network, the interconnection patterns among the nodes are termed as network topology. The varying topological properties of any complex networks make the task of network comparison and classification a challenging activity. Therefore a set of summary statistics or quantitative performance measures are important to describe and compare the complex networks. In the last few years, many quantities and measures are proposed and investigated for complex network analysis. However, among all, three measures, namely average path length $(L)$ [2], clustering coefficient (Cc) $[16,33]$, and degree distribution $\left(P_k\right)[1,3]$ play a key role in complex network analysis. Next, we discuss different topological characteristics considered for any complex networks.
统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Rich club coefficient
The rich-club coefficient, introduced by Zhou and Mondragon in the context of the Internet topology [36], refers to the tendency of high-degree nodes (i.e., the hubs) in the network, to be very well-connected to other hub nodes. The name “rich-club” arises from the metaphor that the nodes with a large number of links, i.e., the hubs are “rich”, and they tend to be tightly and wellinterconnected between themselves, forming subgraphs called “club”. The rich-club coefficient is nothing but the measure of connectedness density within the club. A network with a rich club organization is shown in Fig. $4.4$ for better understanding.
The nodes in a network can be categorized by a ranking scheme [36] or by their degree [8]. The rank $r$ of a node represents the corresponding position of the node in the list of descending order of node degrees, i.e., the most highly-connected node is ranked as $r=1$, the second best-connected node is $r=2$, and so on. The density of connections between the $r$ richest nodes is evaluated by the rich-club coefficient [36],
$$
\Phi(r)=\frac{2 E(r)}{r(r-1)},
$$
where $E(r)$ is the total number of links between $r$ hub nodes and $r(r-1) / 2$ is the maximum possible number of links among these nodes. Similarly, the rich-club coefficient [8] in terms of node de-gree can be represented as follows:
$$
\Phi(k)=\frac{2 E_k}{N_k\left(N_k-1\right)},
$$
where $E_k$ is the number of links present between the nodes of degree greater than or equal to $k$, and $N_k$ is the number of such nodes. Therefore, $\Phi(k)$ measures the fraction of actual links connecting those nodes and the maximum number of possible links. This measure explicitly reflects how densely connected are the nodes within a network.
The behavior of the rich-club coefficient is proportional to the value of $k$. It means, a rich-club coefficient increasing with the degree $k$ indicates that there exists a rich-club of nodes, which are densely interconnected than the nodes with smaller degrees. Contrarily, a decrease in the value of $\Phi(k)$ indicates the presence of many loosely connected and relatively independent subgroups. It is known as rich-club phenomenon.
统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Complex graphs
在过去的几十年中，大型现实世界系统，如 WWW、互联网、社交网络、无线网络、供应链网络，通常被建模为图形，以便于计算分析。生物系统中不同实体或大分子之间的相互作用关系，如蛋白质-蛋白质相互作用（PPI）、基因调控和关联、信号通路、代谢活动、大脑的神经元连接等，也被建模为图或网络. 然而，这样的图不像常规图那样简单。由于它们非常规的拓扑特性，它们通常被视为复杂的图或网络。与传统图不同，现实世界的网络表现出非平凡的拓扑属性，例如不同程度的分布、高或低的聚类系数、度匹配性或网络的平均路径长度。因此，网络被分类为不同的模型。
在讨论各种网络模型之前，了解任何复杂网络的拓扑特征很重要。通常，网络模型仅基于这些特征来定义。因此，在介绍可用模型之前，我们首先讨论拓扑特征。
在网络中，节点之间的互连模式称为网络拓扑。任何复杂网络的不同拓扑特性使网络比较和分类任务成为一项具有挑战性的活动。因此，一组汇总统计数据或定量性能指标对于描述和比较复杂网络非常重要。在过去的几年中，针对复杂网络分析提出和研究了许多量和措施。然而，其中，三个度量，即平均路径长度(大号)[2]、聚类系数（Cc）[16,33], 和度分布(磷ķ)[1,3]在复杂网络分析中起关键作用。接下来，我们讨论针对任何复杂网络考虑的不同拓扑特征。
统计代写|网络分析代写Network Analysis代考|Rich club coefficient
由 Zhou 和 Mondragon 在 Internet 拓扑 [36] 的背景下引入的rich-club 系数是指网络中高度节点（即集线 器) 与其他集线器连接良好的趋势节点。”rich-club”这个名字来源于具有大量链接的节点，即枢纽是”丰富 的”，并且它们之间往往紧密且良好地互连，形成称为“倶乐部”的子图。Rich-club 系数不过是衡量倶乐部内 部连通性密度的指标。具有丰富倶乐部组织的网络如图 1 所示。4.4为了更好地理解。
网络中的节点可以通过排序方案 [36] 或它们的度数 [8] 进行分类。排名 $r$ 的一个节点表示该节点在节点度降 序列表中的对应位置，即连接度最高的节点被排序为 $r=1$ ，第二个最佳连接节点是 $r=2$ ，等等。之间 的连接密度 $r$ 最富有的节点由rich-club系数[36]评估，
$$
\Phi(r)=\frac{2 E(r)}{r(r-1)},
$$
在哪里 $E(r)$ 是之间的链接总数 $r$ 枢纽节点和 $r(r-1) / 2$ 是这些节点之间的最大可能链接数。类似地，以节 点度为单位的rich-club系数[8]可以表示如下:
$$
\Phi(k)=\frac{2 E_k}{N_k\left(N_k-1\right)},
$$
在哪里 $E_k$ 是度数大于或等于的节点之间存在的链接数 $k$ ，和 $N_k$ 是此类节点的数量。所以， $\Phi(k)$ 测量连接 这些节点的实际链接的比例和可能链接的最大数量。该度量明确反映了网络中节点的肾密连接程度。
Rich-club 系数的行为与 $k$. 这意味着，一个rich-club系数随着度数的增加而增加 $k$ 表示存在丰富的节点倶乐 部，与度数较小的节点相比，这些节点之间的互连更密集。反之，价值下降 $\Phi(k)$ 表示存在许多松散连接且 相对独立的子群。它被称为富人倶乐部现象。
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