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Consider a CNS consisting of a leader and $N$ followers, where the leader is labelled as agent 0 and the followers are labelled as agents $1, \ldots, N$. The dynamics of agent $i, i=0,1, \ldots, N$, are given by
$$
\dot{x}i(t)=A x_i(t)+C f\left(x_i(t), t\right)+B u_i(t), $$ where $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ represent the states of agent $i, f(\cdot, \cdot): \mathbb{R}^n \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R}^p$ is a continuously differentiable vector-valued function representing the intrinsic nonlinear dynamics, $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ is the control input to be designed, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$, and $C \in \mathbb{R}^{n \times p}$ are constant real matrices. It is assumed that the matrix pair $(A, B)$ is stabilizable. In this section, it is assumed that the leader will not being affected by any followers, i.e. $u_0(t) \equiv \mathbf{0}_m$ in CNS (6.1). Before moving on, the following assumption is made. Assumption 6.1 There exists a nonnegative constant $\varrho$, such that $$ |f(y, t)-f(z, t)| \leq \varrho|y-z|, \forall y, z \in \mathbb{R}^n, t \geq 0 $$ To achieve consensus tracking, the following distributed consensus tracking protocol is proposed for each follower $i$ : $$ u_i(t)=\alpha F \sum{j=0}^N a_{i j}(t)\left(x_j(t)-x_i(t)\right), \quad i=1, \ldots, N,
$$
where $\alpha>0$ represents the coupling strength, $F \in \mathbb{R}^{m \times n}$ is the feedback gain matrix to be designed, and $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]_{(N+1) \times(N+1)}$ is the adjacency matrix of graph $\mathcal{G}(t)$. Here, $\mathcal{G}(t)$ describes the underlying communication topology among the $N+1$ agents at time $t$.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Main results for fixed topology containing a directed spanning tree

In this section, distributed consensus tracking is addressed for CNS (6.1) with a fixed communication topology containing a directed spanning tree.

Without loss of generality, let $\mathcal{G}(t)=\mathcal{G}$ for all $t \geq 0$ since the communication topology is assumed to be fixed in this subsection. To derive the main results, the following assumption is needed.

Assumption 6.2 The communication topology $\mathcal{G}$ contains a directed spanning tree with agent 0 (i.e. the leader) as the root.

Under Assumption 6.2, the Laplacian matrix of directed graph $\mathcal{G}$ can be written as
$$
\mathcal{L}=\left[\begin{array}{cc}
0 & \mathbf{0}N^T \ \mathbf{P} & \overline{\mathcal{L}} \end{array}\right], \quad \overline{\mathcal{L}}=\left[\begin{array}{cccc} \sum{j \in \mathcal{N}1} a{1 j} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 N} \
-a_{21} & \sum_{j \in \mathcal{N}2} a{2 j} & \ldots & -a_{2 N} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
-a_{N 1} & -a_{N 2} & \ldots & \sum_{j \in \mathcal{N}N} a{N j}
\end{array}\right]
$$
where $\mathbf{P}=-\left[a_{10}, \ldots, a_{N 0}\right]^T$. It can be thus obtained from Lemma $2.15$ that there exists a positive definite diagonal matrix $\Phi=\operatorname{diag}\left{\phi_1, \ldots, \phi_N\right}$ such that $\overline{\mathcal{L}}^T \Phi+$ $\Phi \overline{\mathcal{L}}>0$. One such $\phi=\left[\phi_1, \ldots, \phi_N\right]^T$ can be obtained by solving the matrix equation $\overline{\mathcal{L}}^T \phi=\mathbf{1}_N$
Since $u_0(t) \equiv \mathbf{0}_m$, one has
$$
\dot{x}_0(t)=A x_0(t)+C f\left(x_0(t), t\right)
$$

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考虑一个由领导者和 $N$ 追随者,其中领导者被标记为代理 0 ,追随者被标记为代理 $1, \ldots, N$. 代理的动态 $i, i=0,1, \ldots, N$, 由
$$
\dot{x} i(t)=A x_i(t)+C f\left(x_i(t), t\right)+B u_i(t),
$$
在哪里 $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ 代表代理的状态 $i, f(\cdot, \cdot): \mathbb{R}^n \times[0,+\infty) \mapsto \mathbb{R}^p$ 是表示内在非线性动力学的连续可微 向量值函数, $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ 是要设计的控制输入, $A \in \mathbb{R}^{n \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ,和 $C \in \mathbb{R}^{n \times p}$ 是常数实矩阵。 假设矩阵对 $(A, B)$ 是稳定的。在本节中,假设领导者不会受到任何追随者的影响,即 $u_0(t) \equiv \mathbf{0}m$ 在中枢 神经系统 (6.1) 中。在继续之前,做出以下假设。假设 $6.1$ 存在一个非负常数 $\varrho$, 这样 $$ |f(y, t)-f(z, t)| \leq \varrho|y-z|, \forall y, z \in \mathbb{R}^n, t \geq 0 $$ 为了实现共识跟踪,为每个追随者提出了以下分布式共识跟踪协议 $i$ : $$ u_i(t)=\alpha F \sum j=0^N a{i j}(t)\left(x_j(t)-x_i(t)\right), \quad i=1, \ldots, N,
$$
在哪里 $\alpha>0$ 表示耦合强庻, $F \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是要设计的反帻增益矩阵,并且 $\mathcal{A}(t)=\left[a_{i j}(t)\right]_{(N+1) \times(N+1)}$ 是 图的邻接矩阵 $\mathcal{G}(t)$. 这里, $\mathcal{G}(t)$ 描述了底层通信拓扑 $N+1$ 当时的代理人 $t$.

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在本节中,针对具有包含有向生成树的固定通信拓扑的 CNS (6.1) 解决分布式共识跟踪问题。
不失一般性,让 $\mathcal{G}(t)=\mathcal{G}$ 对所有人 $t \geq 0$ 因为在本小节中假设通信拓扑是固定的。为了得出主要结果,需 要以下假设。
假设 $6.2$ 通信拓扑G包含一个以代理 0 (即领导者) 为根的有向生成树。
在假设 $6.2$ 下,有向图的拉普拉斯矩阵G可以写成
$$
\mathcal{L}=\left[\begin{array}{lll}
0 & \mathbf{0} N^T \mathbf{P} & \overline{\mathcal{L}}
\end{array}\right], \quad \overline{\mathcal{L}}=\left[\begin{array}{llllllll}
\sum j \in \mathcal{N} 1 a 1 j & -a_{12} & \ldots & -a_{1 N} & -a_{21} & \sum_{j \in \mathcal{N} 2} a 2 j & \ldots & -a_{2 N}
\end{array}\right.
$$
在哪里 $\mathbf{P}=-\left[a_{10}, \ldots, a_{N 0}\right]^T$. 因此可以从引理得到 $2.15$ 存在一个正定对角矩阵 $\phi=\left[\phi_1, \ldots, \phi_N\right]^T$ 可以通过求解矩阵方程得到 $\overline{\mathcal{L}}^T \phi=\mathbf{1}_N$ 自从 $u_0(t) \equiv \mathbf{0}_m$ 一个个有
$$
\dot{x}_0(t)=A x_0(t)+C f\left(x_0(t), t\right)
$$

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