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cs代写|复杂网络代写complex network代考|Discussions on the convergence rate

Suppose that the distributed consensus tracking problem of CNS with followers given by (6.51) and a leader given by (6.50) can be solved by the protocol (6.52) with control parameters constructed by Algorithm 6.4. It can be seen from (6.80) to (6.82) that the convergence rate of consensus tracking in the closed-loop CNSs is characterized by $\epsilon_0=\inf _{j \in \mathbb{N}} \kappa_j$ with $\kappa_j=\beta \delta_k-\gamma \rho_j-\left(h_j-1\right) \ln \mu$. Specifically, the larger $\epsilon_0$, the faster distributed consensus tracking. For a given CNS, the convergence rate of the distributed consensus tracking can be increased by maximizing $\beta$ and minimizing $\gamma$. It can be seen from LMI $(6.56)$ that the parameter $\beta$ can be chosen as arbitrarily large if $(A, B)$ is controllable; however, for the case that $(A, B)$ is stabilizable but not controllable, $\beta$ should not be larger than $-2 \chi$, where $\chi$ is the largest real part of the uncontrollable stable eigenvalues of $A$. Also, $\gamma$ can be chosen as arbitrarily small if $A$ has no unstable eigenvalue; but if $A$ contains some unstable eigenvalues, the parameter $\gamma$ should be larger than $2 \omega$, where $\omega$ is the largest real part of the unstable eigenvalues of $A$. However, it is still unclear how to select $\beta$ and $\gamma$ such that the LMIs $(6.56)$ and $A P+P A^T<\gamma P$ share a common solution $P$ while the above-mentioned $\epsilon_0$ attains its maximum value. Nevertheless, this optimal design can be solved after $\beta$ is fixed. Specifically, let $\gamma=\gamma_0$ be fixed, and $\beta_{\max }$ and $\beta_{\min }$ be, respectively, the maximal and minimal allowable values of $\beta$ such that the LMIs (6.56) and $A P+P A^T<\gamma P$ share a common solution $P>0$ and the condition (6.63) holds. Then, the CNS with followers given by $(6.51)$ and a leader given by $(6.50)$ equipped with the protocol (6.52) constructed by Algorithm $6.4$ with $\beta=\beta_{\max }$ yields a fast convergence rate.

cs代写|复杂网络代写complex network代考|Model formulation

Consider a CNS consisting of $N$ agents with general linear dynamics, described by
$$
\dot{x}_i(t)=A x_i(t)+B u_i(t)+D \omega_i(t),
$$
where $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ is the state, $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ is the control input, $\omega_i(t) \in \mathbb{L}_2[0,+\infty)$ is the external disturbance, $A, B$, and $D$ are constant real matrices. It is assumed that matrix pair $(A, B)$ is stabilizable.

The communication topology among the $N$ agents switches at the time instants $t_1, t_2, \ldots$. It is assumed that $t_0=0$ and $t_{k+1}-t_k \geq \tau_m>0, k \in \mathbb{N}$. And it is assumed that $\mathcal{G}^{\sigma(t)} \in\left{\mathcal{G}^1, \ldots, \mathcal{G}^\kappa\right}$ with $\kappa \geq 1$ and $\kappa \in \mathbb{N}$.

To achieve consensus, the following consensus protocol based only on the relative information between agent $i$ and its neighbors is proposed:
$$
u_i(t)=\alpha K \sum_{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right], i=1, \ldots, N,
$$
where $\alpha>0$ is the coupling strength to be selected, $K \in \mathbb{R}^{m \times n}$ is the feedback gain matrix to be designed, and $\mathcal{A}^{\sigma(t)}=\left[a_{i j}^{\sigma(t)}\right]{N \times N}$ is the adjacency matrix of the graph $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$ Substituting (7.2) into (7.1) gives that $$ \dot{x}_i(t)=A x_i(t)+\alpha B K \sum{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right]+D \omega_i(t), i=1, \ldots, N
$$
Let $x(t)=\left[x_1^T(t), \ldots, x_N^T(t)\right]^T$ and $\omega(t)=\left[\omega_1^T(t), \ldots, \omega_N^T(t)\right]^T$, one gets
$$
\dot{x}(t)=\left[\left(I_N \otimes A\right)-\alpha\left(\mathcal{L}^{\sigma(t)} \otimes B K\right)\right] x(t)+\left(I_N \otimes D\right) \omega(t),
$$
where $\mathcal{L}^{\sigma(t)}$ is the Laplacian matrix of the graph $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$. Before moving forward, the following assumption is made.

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假设具有 (6.51) 给出的追随者和 (6.50) 给出的领导者的CNS分布式共识跟踪问题可以通过协议 (6.52) 和算法6.4构造的控制参数来解决。从 (6.80) 到 (6.82) 可以看出,闭环CNSs中共识跟踪的收敛速度为 $\epsilon_0=\inf {j \in \mathbb{N}} \kappa_j$ 和 $\kappa_j=\beta \delta_k-\gamma \rho_j-\left(h_j-1\right) \ln \mu$. 具体来说,越大 $\epsilon_0$ ,更快的分布式共识跟踪。对于给 定的 CNS,分布式共识跟踪的收敛速度可以通过最大化 $\beta$ 并最小化 $\gamma$. 从LMI可以看出(6.56)那个参数 $\beta$ 可以 选择任意大,如果 $(A, B)$ 是可控的;但是,对于这种情况 $(A, B)$ 稳定但不可控, $\beta$ 不应大于 $-2 \chi$ ,在哪里 $\chi$ 是不可控稳定特征值的最大实部 $A$. 还, $\gamma$ 可以选择任意小,如果 $A$ 没有不稳定的特征值;但如果 $A$ 包含一 些不稳定的特征值,参数 $\gamma$ 应该大于 $2 \omega$ ,在哪里 $\omega$ 是不稳定特征值的最大实部 $A$. 但目前还不清楚如何选择 $\beta$ 和 $\gamma$ 这样LMI(6.56)和 $A P+P A^T<\gamma P$ 分享一个共同的解决方案 $P$ 而上述 $\epsilon_0$ 达到最大值。然而,这个优 化设计可以在之后解决 $\beta$ 是固定的。具体来说,让 $\gamma=\gamma_0$ 被固定,并且 $\beta{\max }$ 和 $\beta_{\min }$ 分别是允许的最大值和 最小值 $\beta$ 使得 LMI (6.56) 和 $A P+P A^T<\gamma P$ 分享一个共同的解决方案 $P>0$ 并且条件 (6.63) 成立。然 后,具有追随者的 CNS 由(6.51)和一个领导者 $(6.50)$ 配备Algorithm构建的协议 (6.52) $6.4$ 和 $\beta=\beta_{\max }$ 产生快速的收敛速度。

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考虑一个由以下组成的 CNSN具有一般线性动力学的代理,由
$$
\dot{x}i(t)=A x_i(t)+B u_i(t)+D \omega_i(t), $$ 在哪里 $x_i(t) \in \mathbb{R}^n$ 是状态, $u_i(t) \in \mathbb{R}^m$ 是控制输入, $\omega_i(t) \in \mathbb{L}_2[0,+\infty)$ 是外部干扰, $A, B$ ,和 $D$ 是常 数实矩阵。假设矩阵对 $(A, B)$ 是稳定的。 通信拓扑 $N$ 代理在瞬间切换 $t_1, t_2, \ldots$. 假设 $t_0=0$ 和 $t{k+1}-t_k \geq \tau_m>0, k \in \mathbb{N}$. 并且假设
为了达成共识,以下共识协议仅基于agent之间的相关信息 $i$ 并且它的邻居被提议:
$$
u_i(t)=\alpha K \sum_{j=1}^N a_{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right], i=1, \ldots, N,
$$
在哪里 $\alpha>0$ 是要选择的耦合强度, $K \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是要设计的反贵增益矩阵,并且 $\mathcal{A}^{\sigma(t)}=\left[a_{i j}^{\sigma(t)}\right] N \times N$ 是图的邻接矩阵 $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$ 将 (7.2) 代入 (7.1) 得到
$$
\dot{x}i(t)=A x_i(t)+\alpha B K \sum j=1^N a{i j}^{\sigma(t)}\left[x_j(t)-x_i(t)\right]+D \omega_i(t), i=1, \ldots, N
$$
$$
\begin{aligned}
\text { 让 } x(t)=\left[x_1^T(t), \ldots, x_N^T(t)\right]^T \text { 和 } \omega(t)=\left[\omega_1^T(t), \ldots, \omega_N^T(t)\right]^T , \text { 个得到 } \
\dot{x}(t)=\left[\left(I_N \otimes A\right)-\alpha\left(\mathcal{L}^{\sigma(t)} \otimes B K\right)\right] x(t)+\left(I_N \otimes D\right) \omega(t),
\end{aligned}
$$
在哪里 $\mathcal{L}^{\sigma(t)}$ 是图的拉普拉斯矩阵 $\mathcal{G}^{\sigma(t)}$. 在继续之前,做出以下假设。

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