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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Distribution on Metric Space
Definition 5.2.1. Distribution on a complete metric space. Suppose $(S, d)$ is a complete metric space. Let $n \geq 1$ be arbitrary. Recall the function $h_n \equiv 1 \wedge(1+$ $\left.n-d\left(\cdot, x_{\circ}\right)\right){+} \in C{u b}(S, d)$, where $x_{\circ} \in S$ is an arbitrary but fixed reference point. Note that the function $h_n$ has bounded support. Hence $h_n \in C(S, d)$ if $(S, d)$ is locally compact.
Let $J$ be an integration on $\left(S, C_{a b b}(S, d)\right)$, in the sense of Definition 4.3.1. Suppose $J h_n \uparrow 1$ as $n \rightarrow \infty$. Then the integration $J$ is called a probability distribution, or simply a distribution, on $(S, d)$. We will let $\widehat{J}(S, d)$ denote the set of distributions on the complete metric space $(S, d)$.
Lemma 5.2.2. Distribution basics. Suppose $(S, d)$ is a complete metric space. Then the following conditions hold:
- Let $J$ be an arbitrary distribution on $(S, d)$. Let $(S, L, J) \equiv\left(S, \overline{C_{u b}(S)}, J\right)$ be the complete extension of the integration space $\left(S, C_{u b}(S), J\right)$. Then $(S, L, J)$ is a probability space.
- Suppose the metric space $(S, d)$ is bounded. Let $J$ be an integration on $\left(S, C_{u b}(S)\right)$ such that $J 1=1$. Then the integration $J$ is a distribution on $(S, d)$.
- Suppose $(S, d)$ is locally compact. Let $J$ be an integration on $(S, C(S, d))$ in the sense of Definition 4.2.1. Suppose $J h_n \uparrow 1$ as $n \rightarrow \infty$. Then $J$ is a distribution on $(S, d)$.
Proof. 1. By Definition $5.2 .1, J h_n \uparrow 1$ as $n \rightarrow \infty$. At the same time, $h_n \uparrow 1$ on $S$. The Monotone Convergence Theorem therefore implies that $1 \in L$ and $J 1=1$. Thus $(S, L, J)$ is a probability space.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Weak Convergence of Distributions
Recall that if $X$ is an r.v. on a probability space $(\Omega, L, E)$ with values in $S$, then $E_X$ denotes the distribution induced on $S$ by $X$.
Definition 5.3.1. Weak convergence of distributions on a complete metric space. Recall that $\widehat{J}(S, d)$ denotes the set of distributions on a complete metric space $(S, d)$. A sequence $\left(J_n\right){n=1,2, \ldots}$ in $\widehat{J}(S, d)$ is said to converge weakly to $J \in \widehat{J}(S, d)$ if $J_n f \rightarrow J f$ for each $f \in C{u b}(S)$. We then write $J_n \Rightarrow J$. Suppose $X, X_1, X_2, \ldots$ are r.v.’s with values in $S$, not necessarily on the same probability space. The sequence $\left(X_n\right){n=1,2, \ldots}$ of r.v.’s is said to converge weakly to r.v. $X$, or to converge in distribution, if $E{X(n)} \Rightarrow E_X$. We then write $X_n \Rightarrow X$.
Proposition 5.3.2. Convergence in probability implies weak convergence. Let $\left(X_n\right)_{n=0,1, \ldots}$ be a sequence of ru’s on the same probability space $(\Omega, L, E)$, with values in a complete metric space $(S, d)$. If $X_n \rightarrow X_0$ in probability, then $X_n \Rightarrow X_0$.
Proof. Suppose $X_n \rightarrow X_0$ in probability. Let $f \in C_{u b}(S)$ be arbitrary, with $|f| \leq c$ for some $c>0$, and with a modulus of continuity $\delta_f$. Let $\varepsilon>0$ be arbitrary. By Definition $5.1 .8$ of convergence in probability, there exists $p \geq 1$ so large that for each $n \geq p$, there exists an integrable set $B_n$ with $P\left(B_n\right)<\varepsilon$ and $$ B_n^c \subset\left(d\left(X_n, X_0\right)<\delta_f(\varepsilon)\right) \subset\left(\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right|<\varepsilon\right) $$ Consider each $n \geq p$. Then $$ \begin{aligned} \left|E f\left(X_n\right)-E f\left(X_0\right)\right| &=E\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right| 1_{B(n)}+E\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right| 1_{B(n)^c} \ & \leq 2 c P\left(B_n\right)+\varepsilon<2 c \varepsilon+\varepsilon . \end{aligned} $$ Since $\varepsilon>0$ is arbitrarily small, we conclude that $E f\left(X_n\right) \rightarrow E f\left(X_0\right)$. Equivalently, $J_{X(n)} f \rightarrow J_{X(0)} f$. Since $f \in C_{u b}(S)$ is arbitrary, we have $J_{X(n)} \Rightarrow J_{X(0)}$. In other words, $X_n \Rightarrow X_0$.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Distribution on Metric Space
定义 5.2.1。在完整度量空间上的分布。认为 $(S, d)$ 是一个完整的度量空间。让 $n \geq 1$ 随意。调用函数 isanarbitrarybut fixedre ferencepoint. Notethatthe functionh_nhasboundedsupport. Hence h_n \in C(S, d)if(S, d) \$ 是局部紧致的。
让 $J$ 成为一个整合 $\left(S, C_{a b b}(S, d)\right)$ ，在定义 $4.3 .1$ 的意义上。认为 $J h_n \uparrow 1$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 然后是整合 $J$ 被称 为概率分布，或简称为分布，在 $(S, d)$. 我们会让 $\widehat{J}(S, d)$ 表示完整度量空间上的分布集 $(S, d)$.
引理 5.2.2。分布基础。认为 $(S, d)$ 是一个完整的度量空间。那么以下条件成立:
- 让 $J$ 是一个任意分布 $(S, d)$. 让 $(S, L, J) \equiv\left(S, \overline{C_{u b}(S)}, J\right)$ 成为整合空间的完整延伸 $\left(S, C_{u b}(S), J\right)$. 然后 $(S, L, J)$ 是一个概率空间。
- 假设度量空间 $(S, d)$ 是有界的。让 $J$ 成为一个整合 $\left(S, C_{u b}(S)\right)$ 这样 $J 1=1$. 然后是整合 $J$ 是一个分布在 $(S, d)$
- 认为 $(S, d)$ 是局部紧致的。让 $J$ 成为一个整合 $(S, C(S, d))$ 在定义 $4.2 .1$ 的意义上。认为 $J h_n \uparrow 1$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 然后 $J$ 是一个分布在 $(S, d)$.
证明。1.按定义5.2.1, $J h_n \uparrow 1$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 同时， $h_n \uparrow 1$ 上 $S$. 因此，单调收敛定理意味着 $1 \in L$ 和 $J 1=1$. 因此 $(S, L, J)$ 是一个概率空间。
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Weak Convergence of Distributions
回想一下，如果 $X$ 是概率空间上的 $\mathrm{rv}(\Omega, L, E)$ 与值 $S$ ，然后 $E_X$ 表示在 $S$ 经过 $X$.
定义 5.3.1。在完整度量空间上分布的弱收玫。回顾 $\widehat{J}(S, d)$ 表示完整度量空间上的分布集 $(S, d)$. 一个序列 $\left(J_n\right) n=1,2, \ldots$ 在 $\widehat{J}(S, d)$ 据说弱收敛到 $J \in \widehat{J}(S, d)$ 如果 $J_n f \rightarrow J f$ 对于每个 $f \in C u b(S)$. 然后我们 写 $J_n \Rightarrow J$. 认为 $X, X_1, X_2, \ldots$ 是 $\mathrm{rv}$ 的值在 $S$ ，不一定在同一个概率空间上。序列 $\left(X_n\right) n=1,2, \ldots$ 的 $\mathrm{rv}$ 据说弱收敛到 $\mathrm{rv} X$ ，或收玫于分布，如果 $E X(n) \Rightarrow E_X$. 然后我们写 $X_n \Rightarrow X$.
提案 5.3.2。概率收玫意味着弱收敛。让 $\left(X_n\right){n=0,1, \ldots}$ 是相同概率空间上的一系列 $\mathrm{ru}(\Omega, L, E)$, 具有完整度 量空间中的值 $(S, d)$. 如果 $X_n \rightarrow X_0$ 很有可能，那么 $X_n \Rightarrow X_0$. 证明。认为 $X_n \rightarrow X_0$ 在概率上。让 $f \in C{u b}(S)$ 是任意的，与 $|f| \leq c$ 对于一些 $c>0$ ，并且具有连续模量 $\delta_f$. 让 $\varepsilon>0$ 随意。按定义5.1.8概率收敛，存在 $p \geq 1$ 如此之大，以至于对于每个 $n \geq p$, 存在一个可积集 $B_n$ 和 $P\left(B_n\right)<\varepsilon$ 和 $$ B_n^c \subset\left(d\left(X_n, X_0\right)<\delta_f(\varepsilon)\right) \subset\left(\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right|<\varepsilon\right) $$ 考虑每个 $n \geq p$. 然后 $$ \left|E f\left(X_n\right)-E f\left(X_0\right)\right|=E\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right| 1_{B(n)}+E\left|f\left(X_n\right)-f\left(X_0\right)\right| 1_{B(n)^c} \quad \leq 2 c P\left(B_n\right)+\varepsilon<2 c \varepsilon $$ 自从 $\varepsilon>0$ 任意小，我们得出结论 $E f\left(X_n\right) \rightarrow E f\left(X_0\right)$. 等效地， $J_{X(n)} f \rightarrow J_{X(0)} f$. 自从 $f \in C_{u b}(S)$ 是 任意的，我们有 $J_{X(n)} \Rightarrow J_{X(0)}$. 换句话说， $X_n \Rightarrow X_0$.
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