数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Product Integration and Fubini’s Theorem

In this section, let $\left(\Omega^{\prime}, L^{\prime}, I^{\prime}\right)$ and $\left(\Omega^{\prime \prime}, L^{\prime \prime}, I^{\prime \prime}\right)$ be two arbitrary but fixed complete integration spaces. Let $\Omega \equiv \Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ denote the product set. We will construct the product integration space and embed the given integration spaces in it. The definitions and results can easily be generalized to more than two given integration spaces.

Definition 4.10.1. Direct product of functions. Let $X^{\prime}, X^{\prime \prime}$ be arbitrary members of $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$, respectively. Define the function $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}: \Omega \rightarrow R$ by $\operatorname{domain}\left(X^{\prime} \otimes\right.$ $\left.X^{\prime \prime}\right) \equiv \operatorname{domain}\left(X^{\prime}\right) \times \operatorname{domain}\left(X^{\prime \prime}\right)$ and by $\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right)\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}\right) \equiv X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right) X^{\prime \prime}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ for each $\omega \in \Omega$. The function $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ is then called the direct product of the functions $X^{\prime}$ and $X^{\prime \prime}$. When the risk of confusion is low, we will write $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ and $X^{\prime} X^{\prime \prime}$ interchangeably.

Definition 4.10.2. Simple functions. Let $n, m \geq 1$ be arbitrary. Let $X_1^{\prime}, \ldots, X_n^{\prime} \in$ $L^{\prime}$ be mutually exclusive indicators, and let $X_1^{\prime \prime}, \ldots, X_m^{\prime \prime} \in L^{\prime \prime}$ be mutually exclusive indicators. For each $i=1, \ldots, n$ and $j=1, \ldots, m$, let $c_{i, j} \in R$ be arbitrary. Then the real-valued function
$$
X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} X_i^{\prime} X_j^{\prime \prime}
$$
is called a simple function relative to $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. Let $L_0$ denote the set of simple functions on $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$. Two simple functions are said to be equal if they have the same domain and the same values on the common domain. In other words, equality in $L_0$ is the set-theoretic equality:
$$
I(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} I^{\prime}\left(X_i^{\prime}\right) I^{\prime \prime}\left(X_j^{\prime \prime}\right)
$$
Lemma 4.10.3. Simple functions constitute a linear space. As in Definition $4.10 .2$, let $L_0$ be the set of simple functions on $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ relative to $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. Then the following conditions hold:

  1. If $X \in L_0$, then $|X|, a \wedge X \in L_0$ for each $a>0$.
  2. $L_0$ is a linear space.
  3. The function I on $L_0$ is linear:

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Random Variable

Definition 5.1.1. Probability space and r.v.’s. Henceforth, unless otherwise specified, $(\Omega, L, E)$ will denote a probability integration space, i.e., a complete integration space in which the constant function 1 is integrable with $E 1=1$. Then $(\Omega, L, E)$ will simply be called a probability space. The integration $E$ will be called an expectation, and the integral $E X$ of each $X \in L$ will be called the expected value of $X$.

A measurable function $X$ on $(\Omega, L, E)$ with values in a complete metric space $(S, d)$ is called a random variable, or r.v. for abbreviation. Two r.v.’s are considered equal if they have equal values on a full subset of $\Omega$. A real-valued measurable function $X$ on $(\Omega, L, E)$ is then called a real random variable, or r.r.v. for abbreviation. An integrable real-valued function $X$ is called an integrable real random variable, its integral $E X$ called its expected value.

A measurable set is sometimes called an event. It is then integrable because $1_A \leq 1$, and its measure $\mu(A)$ is called its probability and denoted by $P(A)$ or $P A$. The function $P$ on the set of measurable sets is called the probability function corresponding to the expectation $E$. Sometimes we will write $E(A)$ for $P(A)$. The set $\Omega$ is called the sample space, and a point $\omega \in \Omega$ is called a sample or an outcome. If an outcome $\omega$ belongs to an event $A$, the event $A$ is said to occur for $\omega$, and $\omega$ is said to realize $A$.

The terms “almost surely,” “almost sure,” and the abbreviation “a.s.” will stand for “almost everywhere” or its abbreviation “a.e.” Henceforth, unless otherwise specified, equality of r.v.’s and equality of events will mean a.s. equality, and the term “complement” for events will stand for “measure-theoretic complement.” If $X$ is an integrable r.r.v. and $A, B, \ldots$ are events, we will sometimes write $E(X ; A, B, \ldots)$ for $E X 1_{A B} \ldots$.

Let $X \in L$ be arbitrary. We will sometimes use the more suggestive notation
$$
\int E(d \omega) X(\omega) \equiv E X,
$$
where $\omega$ is a dummy variable. For example, if $Y \in L \otimes L \otimes L$, we can define a function $Z \in L \otimes L$ by the formula
$$
Z\left(\omega_1, \omega_3\right) \equiv \int E\left(d \omega_2\right) Y\left(\omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \equiv E Y\left(\omega_1, \cdot, \omega_3\right)
$$
for each $\left(\omega_1, \omega_3\right) \in \Omega^2$ for which the right-hand side is defined.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|STAT4061

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Product Integration and Fubini’s Theorem

在本节中,让 $\left(\Omega^{\prime}, L^{\prime}, I^{\prime}\right)$ 和 $\left(\Omega^{\prime \prime}, L^{\prime \prime}, I^{\prime \prime}\right)$ 是两个任意但固定的完整积分空间。让 $\Omega \equiv \Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ 表示产品 集。我们将构建产品集成空间并将给定的集成空间嵌入其中。定义和结果可以很容易地推广到两个以上的 给定集成空间。
定义 4.10.1。函数的直接乘积。让 $X^{\prime}, X^{\prime \prime}$ 成为任意成员 $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$ ,分别。定义函数 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}: \Omega \rightarrow R$ 经过 $\operatorname{domain}\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right) \equiv \operatorname{domain}\left(X^{\prime}\right) \times \operatorname{domain}\left(X^{\prime \prime}\right)$ 并通过 $\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right)\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}\right) \equiv X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right) X^{\prime \prime}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ 对 于每个 $\omega \in \Omega$. 功能 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ 则称为函数的直积 $X^{\prime}$ 和 $X^{\prime \prime}$. 当混渚的风险很低时,我们会写 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ 和 $X^{\prime} X^{\prime \prime}$ 可以互换。
定义 4.10.2。简单的功能。让 $n, m \geq 1$ 随意。让 $X_1^{\prime}, \ldots, X_n^{\prime} \in L^{\prime}$ 是互斥指标,让 $X_1^{\prime \prime}, \ldots, X_m^{\prime \prime} \in L^{\prime \prime}$ 成 为互斥指标。对于每个 $i=1, \ldots, n$ 和 $j=1, \ldots, m$ ,让 $c_{i, j} \in R$ 随意。那么实值函数
$$
X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} X_i^{\prime} X_j^{\prime \prime}
$$
被称为相对于的简单函数 $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. 让 $L_0$ 表示简单函数集 $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$. 如果两个简单函数具有相同的域并且在公 共域上具有相同的值,则称它们相等。换句话说,平等 $L_0$ 是集合论等式:
$$
I(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} I^{\prime}\left(X_i^{\prime}\right) I^{\prime \prime}\left(X_j^{\prime \prime}\right)
$$
引理 4.10.3。简单的函数构成一个线性空间。如定义 $4.10 .2 \mathrm{~ , 让 ~} L_0$ 是简单函数的集合 $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ 关系到 $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. 那么以下条件成立:

  1. 如果 $X \in L_0$ ,然后 $|X|, a \wedge X \in L_0$ 对于每个 $a>0$.
  2. $L_0$ 是一个线性空间。
  3. 我的功能 $L_0$ 是线性的:

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Random Variable

定义 5.1.1。概率空间和 rv’s。此后,除非另有说明, $(\Omega, L, E)$ 将表示一个概率积分空间,即一个完整的积 分空间,其中常数函数 1 可与 $E 1=1$. 然后 $(\Omega, L, E)$ 将简称为概率空间。整合 $E$ 将被称为期望,并且积分 $E X$ 每个 $X \in L$ 将被称为期望值 $X$.
可测量的函数 $X$ 上 $(\Omega, L, E)$ 具有完整度量空间中的值 $(S, d)$ 称为随机变量,缩写为 $\mathrm{rv}$ 。如果两个 $\mathrm{rv}$ 在 $\Omega$. 实值可测函数 $X$ 上 $(\Omega, L, E)$ 然后称为实随机变量,或樎写为 $\mathrm{rrv}$ 。一个可积的实值函数 $X$ 称为可积实随机 变量,它的积分 $E X$ 称为它的期望值。
可测量的集合有时称为事件。那么它是可积的,因为 $1_A \leq 1$ ,及其度量 $\mu(A)$ 称为它的概率并表示为 $P(A)$ 或者 $P A$. 功能 $P$ 在可测集的集合上称为期望对应的概率函数 $E$. 有时我们会写 $E(A)$ 为了 $P(A)$. 套装 $\Omega$ 称为 样本空间,一个点 $\omega \in \Omega$ 称为样本或結果。如果一个结果 $\omega$ 属于一个事件 $A$ ,事件 $A$ 据说发生在 $\omega$ ,和 $\omega$ 据 说意识到 $A$.
术语“几乎肯定”、“几乎肯定”和缩写“as”将代表“几乎无处不在“或其缩写“ae” 此后,除非另有说明,否则 rv 的相等性和事件的相等性将意味着相等,并且事件的术语“补码”将代表“测量理论补码”。如果 $X$ 是一个可积 的 $\operatorname{rrv}$ 并且 $A, B, \ldots$ 是事件,我们有时会写 $E(X ; A, B, \ldots)$ 为了 $E X 1_{A B} \cdots$
让 $X \in L$ 随意。我们有时会使用更具暗示性的符号
$$
\int E(d \omega) X(\omega) \equiv E X
$$
在哪里 $\omega$ 是一个虚拟变量。例如,如果 $Y \in L \otimes L \otimes L$ ,我们可以定义一个函数 $Z \in L \otimes L$ 由公式
$$
Z\left(\omega_1, \omega_3\right) \equiv \int E\left(d \omega_2\right) Y\left(\omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \equiv E Y\left(\omega_1, \cdot, \omega_3\right)
$$
对于每个 $\left(\omega_1, \omega_3\right) \in \Omega^2$ 为其定义了右侧。

数学代写|概率论代写Probability theory代考

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