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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Density Function and Distribution Function

In this section, we discuss two simple and useful methods to construct distributions on a locally compact metric space $(S, d)$. The first starts with one integration $I$ on $(S, d)$ in the sense of Definition $4.2 .1$, where the full set $S$ need not be integrable. Then, for each nonnegative integrable function $g$ with integral 1 , we can construct a distribution on $(S, d)$ using $g$ as a density function. A second method is for the special case where $(S, d)=(R, d)$ is the real line, equipped with the Euclidean metric. Let $F$ be an arbitrary distribution function on $R$, in the sense of Definition $4.1 .1$, such that $F(t) \rightarrow 0$ as $t \rightarrow-\infty$, and $F(t) \rightarrow 1$ as $t \rightarrow \infty$. Then the Riemann-Stieljes integral corresponding to $F$ constitutes a distribution on $(R, d)$.

Definition 5.4.1. Probability density function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$ in the sense of Definition 4.2.1. Let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. Let $g \in \Lambda$ be an arbitrary nonnegative integrable function with $I g=1$. Define
$$
I_g f \equiv I g f
$$
for each $f \in C(S, d)$. According to the following lemmas, the function $I_g$ is a probability distribution on $(S, d)$, in the sense of Definition 5.2.1.

In such a case, $g$ will be called a probability density function, or $p . d . f$. for short, relative to the integration $I$, and the completion $\left(S, \Lambda_g, I_g\right)$ of $\left(S, C(S, d), I_g\right)$ will be called the probability space generated by the p.d.f. $g$.

Suppose, in addition, that $X$ is an arbitrary r.v. on some probability space $(\Omega, L, E)$ with values in $S$ such that $E_X=I_g$, where $E_X$ is the distribution induced on the metric space $(S, d)$ by the r.v. $X$, in the sense of Definition 5.2.3. Then the
r.v. $X$ is said to have the p.d.f. $g$ relative to 1 . $\square$
Frequently used p.d.f.’s are defined on $(S, \Lambda, I) \equiv\left(R^n, \Lambda, \int \cdot d x\right)$, the $n$-dimensional Euclidean space equipped with the Lebesgue integral, and on $(S, \Lambda, I) \equiv({1,2, \ldots}, \Lambda, I)$ with the counting measure $I$ defined by $I f \equiv$ $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ for each $f \in C(S)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Skorokhod Representation

In this section, let $(S, d)$ be a locally compact metric space with an arbitrary but fixed reference point $x_0 \in S$. Let
$$
\left(\Theta_0, L_0, I\right) \equiv\left([0,1], L_0, \int \cdot d x\right)
$$
denote the Lebesgue integration space based on the unit interval $[0,1]$, and let $\mu$ be the corresponding Lebesgue measure. Then we will call $I$ the uniform distribution on $[0,1]$.

Given two distributions $E$ and $E^{\prime}$ on the locally compact metric space $(S, d)$, we saw in Proposition 5.2.5 that they are equal to the distributions induced by some $S$-valued r.v.’s $X$ and $X^{\prime}$, respectively. The underlying probability spaces on which $X$ and $X^{\prime}$ are defined can, in general, be different. Therefore functions of both $X$ and $X^{\prime}$, such as $d\left(X, X^{\prime}\right)$, and their associated probabilities are, up to this point, undefined. Additional conditions on joint probabilities are needed to construct one common probability space on which both $X$ and $X^{\prime}$ are defined.

One such condition is independence, to be made precise in a later section, where the observed value of $X$ has no effect whatsoever on the probabilities related to $X^{\prime}$.
In some other situations, it is desirable, instead, to have models where $X=X^{\prime}$ if $E=E^{\prime}$, and more generally where $d\left(X, X^{\prime}\right)$ is small when $E$ is close to $E^{\prime}$. In this section, we construct the Skorokhod representation, which, to each distribution $E$ on $S$, assigns a unique r.v. $X: \Theta_0 \rightarrow S$ that induces $E$. In the context of applications to random fields, theorem 3.1.1 of [Skorokhod 1956] introduced this representation and proves that it is continuous relative to weak convergence of $E$ and a.u. convergence of $X$. We will prove this result for applications in Chapter 6 .
In addition, we will prove that, when restricted to a tight subset of distributions, the Skorokhod representation is uniformly continuous relative to the distribution metric $\rho_{D i s t, \xi}$ on the space of distributions $E$, and the metric $\rho_{P r o b}$ on the space of r.v’s $X: \Theta_0 \rightarrow S$. The metrics $\rho_{D i s t, \xi}$ and $\rho_{\text {Prob }}$ were introduced in Definition 5.3.4 and in Proposition 5.1.11, respectively.

The Skorokhod representation is a generalization of the quantile mapping, which to each P.D.F. $F$ assigns the r.r.v. $Y \equiv F^{-1}: \Theta_0 \rightarrow R$ on the probability space $\Theta_0$, where $Y$ can be shown to induce the P.D.F. $F$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|MATHS7103

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Density Function and Distribution Function

在本节中,我们将讨论在局部紧凑度量空间上构建分布的两种简单且有用的方法 $(S, d)$. 第一个从一个集成 开始 $I$ 上 $(S, d)$ 在定义的意义上4.2.1,其中全套 $S$ 不必是可积的。然后,对于每个非负可积函数 $g$ 用积分 1 ,我们可以构造一个分布在 $(S, d)$ 使用 $g$ 作为密度函数。第二种方法是针对特殊情况 $(S, d)=(R, d)$ 是实 线,配备欧几里得度量。让 $F$ 是一个任意分布函数 $R$ ,在定义的意义上4.1.1,这样 $F(t) \rightarrow 0$ 作为 $t \rightarrow-\infty$ ,和 $F(t) \rightarrow 1$ 作为 $t \rightarrow \infty$. 那么黎曼-斯蒂耶斯积分对应于 $F$ 构成上的分布 $(R, d)$.
定义 5.4.1。概率密度函数。让 $I$ 是局部紧致度量空间上的积分 $(S, d)$ 在定义 4.2.1 的意义上。让 $(S, \Lambda, I)$ 表 示积分空间的完成 $(S, C(S), I)$. 让 $g \in \Lambda$ 是任意非负可积函数 $I g=1$. 定义
$$
I_g f \equiv I g f
$$
对于每个 $f \in C(S, d)$. 根据以下引理,函数 $I_g$ 是一个概率分布 $(S, d)$ ,在定义 5.2.1 的意义上。
在这种情况下, $g$ 将被称为概率密度函数,或 $p . d . f$. 简而言之,相对于集成 $I$ ,和完成 $\left(S, \Lambda_g, I_g\right)$ 的 $\left(S, C(S, d), I_g\right)$ 将被称为 $\mathrm{pdf}$ 生成的概率空间 $g$.
此外,假设 $X$ 是某个概率空间上的任意 $\operatorname{rv}(\Omega, L, E)$ 与值 $S$ 这样 $E_X=I_g$ ,在哪里 $E_X$ 是在度量空间上诱导 的分布 $(S, d)$ 由房车 $X$ ,在定义 $5.2 .3$ 的意义上。然后
房车 $X$ 据说有pdf $g$ 相对于 1 。
经常使用的 pdf 定义在 $(S, \Lambda, I) \equiv\left(R^n, \Lambda, \int \cdot d x\right)$ ,这 $n$ 维欧几里得空间配备勒贝格积分,以及 $(S, \Lambda, I) \equiv(1,2, \ldots, \Lambda, I)$ 与计数措施 $I$ 被定义为 $I f \equiv \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 对于每个 $f \in C(S)$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考|Skorokhod Representation

在本节中,让 $(S, d)$ 是具有任意但固定参考点的局部紧凑度量空间 $x_0 \in S$. 让
$$
\left(\Theta_0, L_0, I\right) \equiv\left([0,1], L_0, \int \cdot d x\right)
$$
表示基于单位区间的 Lebesgue 积分空间 $[0,1]$ ,然后让 $\mu$ 是相应的勒贝格测度。然后我们将调用 $I$ 上的均 匀分布 $[0,1]$.
给定两个分布 $E$ 和 $E^{\prime}$ 在局部紧度量空间上 $(S, d)$ ,我们在命题 $5.2 .5$ 中看到它们等于由一些引起的分布 $S$ 价 值房车 $X$ 和 $X^{\prime}$ ,分别。基础概率空间 $X$ 和 $X^{\prime}$ 通常,定义可以不同。因此两者的功能 $X$ 和 $X^{\prime}$ ,如 $d\left(X, X^{\prime}\right)$ ,到目前为止,它们的相关概率是末定义的。需要关于联合概率的附加条件来构建一个公共概率 空间, $X$ 和 $X^{\prime}$ 被定义。
一个这样的条件是独立性,将在后面的部分中更准确地说,其中观察到的值 $X$ 对相关的概率没有任何影响 $X^{\prime}$
在其他一些情况下,㠻望有模型 $X=X^{\prime}$ 如果 $E=E^{\prime}$ ,更一般地说,在哪里 $d\left(X, X^{\prime}\right)$ 小的时候 $E$ 接近 $E^{\prime}$. 在本节中,我们构建了 Skorokhod 表示,它对每个分布 $E$ 上 $S$ ,分配一个唯一的 $\mathrm{rv} X: \Theta_0 \rightarrow S$ 导致 $E$. 在 随机场应用的背景下,[Skorokhod 1956] 的定理 3.1.1引入了这种表示,并证明它相对于 $E$ 和 au 收敛 $X$. 我们将在第 6 章中为应用证明这个结果。
此外,我们将证明,当限制在分布的紧子集时,Skorokhod 表示相对于分布度量是一致连续的 $\rho_{D i s t, \xi}$ 关于 分布空间 $E$, 和度量 $\rho_{P r o b}$ 在房车的空间 $X: \Theta_0 \rightarrow S$. 指标 $\rho_{D i s t, \xi}$ 和 $\rho_{\text {Prob }}$ 分别在定义 5.3.4 和命题 5.1.11 中弓1入。

Skorokhod 表示是分位数映射的推广,它对每个 PDF $F$ 分配 $\operatorname{rrv} Y \equiv F^{-1}: \Theta_0 \rightarrow R$ 在概率空间上 $\Theta_0$ , 在哪里 $Y$ 可以显示诱导 PDF $F$.

数学代写|概率论代写Probability theory代考

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