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Sometimes data are in grouped form, so calculating the mean from raw data is impossible. Recall from Chap. 3 that raw data are sometimes grouped into classes. For example, a teacher might group exam scores into A’s (90-100), B’s (80-89), and so on. In cases such as this, we can estimate the mean from the grouped data by multiplying the midpoint of each class by the number of observations and dividing by the total number of observations $(N)$ :
$$
\mu=\sum_{i=1}^k f_i m_i / N
$$
where $f_i=$ the frequency or number of observations in the $i$ th group, $m_i=$ the midpoint of the ith group, and $k=$ the number of groups. Note that
$$
\sum_{i=1}^k f_i=N
$$
Although this is the formula for estimating the population mean from grouped data, we estimate the sample mean in the same manner by substituting $n$ for $N$.
Example $4.14$ Finding the Mean of Market Rates of Return in Terms of Grouped Data. Table $4.8$ presents a frequency distribution for the rate of return on the $\mathrm{S} \& \mathrm{P}$ composite stock index from 1990 to 2009 ; it has eight classes or groups. Suppose we do not have access to the raw data that underlie this frequency distribution (which, however, are shown in Table 4.9). Will our calculated group mean be reasonably close to the true mean? In this example,
$$
\sum_{i=1}^7 f_i=19
$$

统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|The Median

Although a median can also be calculated for grouped data, it may be impossible to determine the exact value of the median if individual data values are not available. However, we can approximate the median value by first assuming that data fall equally throughout the median class. For example, suppose we have five students who scored between 90 and 100 on the exam. By assuming that the observations are equally spaced, we can hazard an educated guess of the five students’ scores. Because the width of this class is 10 and because there are five students in the class, an assumption of equal spacing means each pair of “adjacent” scores should be separated by 2 points. Making this assumption for all the classes enables us to find what is approximately the median or middle score.

To obtain the median for grouped data, find the class in which the median observation appears. Then apply the following formula to estimate the median:
$$
m=L+\frac{(N / 2-F)}{f}(U-L)
$$
where $L$ and $U$ are the lower and upper boundaries, respectively, of the class that contains the median; $f$ is the frequency in this class; and $F$ is the cumulative frequency of the observations in the classes prior to this class.

Example $4.15$ Finding the Median of Stock Rates of Return in Terms of Grouped Data. Referring to the grouped data in Example 4.14, we know that the median is the 11th observation. Thus, we know that the median is in the .110 to $.200$ class. $F$ is equal to 9 because nine observations occurred before the class; $f$ is equal to 8 because there are eight observations in the class; and the lower $(\mathrm{L})$ and upper (U) boundaries of the class are 110 and .200, respectively. Hence, the median estimate is
$$
m=.110+\frac{(21 / 2-9)}{8}(.200-.110)=.1269
$$
The median for the raw data is $.1240$, which is similar to that calculated from grouped data.

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统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|The Mean

有时数据是分组形式的,因此不可能从原始数据中计算平均值。从章回忆。3 原始数据有时会分组。例 如,老师可能会将考试成绩分为 $A(90-100) 、 B(80-89)$ 等。在这种情况下,我们可以通过将每个类的中点 乘以观察数并除以观察总数来估计分组数据的平均值 $(N)$ :
$$
\mu=\sum_{i=1}^k f_i m_i / N
$$
在哪里 $f_i=$ 观察的频率或数量 $i$ 第组, $m_i=$ 第 $\mathrm{i}$ 组的中点,和 $k=$ 组的数量。注意
$$
\sum_{i=1}^k f_i=N
$$
尽管这是从分组数据中估计总体均值的公式,但我们以相同的方式通过代入来估计样本均值 $n$ 为了 $N$. 例子4.14根据分组数据寻找市场收益率的平均值。桌子4.8表示收益率的频率分布 $\mathrm{S} \& \mathrm{P} 1990$ 年至2009年的 综合股票指数;它有八个班级或小组。假设我们无法访问构成该频率分布的原始数据(但是,这些数据如 表 $4.9$ 所示)。我们计算的组平均值会合理地接近真实平均值吗? 在这个例子中,
$$
\sum_{i=1}^7 f_i=19
$$

统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|The Median

虽然也可以为分组数据计算中位数,但如果个别数据值不可用,则可能无法确定中位数的确切值。但是, 我们可以通过首先假设数据在整个中位数类别中均等来近似中值。例如,假设我们有五个学生的考试成绩 在 90 到 100 之间。通过假设观察是等距的,我们可以冒险对五个学生的分数进行有根据的猜测。因为这 个班级的宽度是 10 并且班里有 5 名学生,假设等间距意味着每对“相邻”的分数应该相隔 2 分。对所有类别 做出这个假设使我们能够找到大约是中位数或中间分数。
要获得分组数据的中位数,请找到出现中位数观测值的类。然后应用以下公式来估计中位数:
$$
m=L+\frac{(N / 2-F)}{f}(U-L)
$$
在哪里 $L$ 和 $U$ 分别是包含中位数的类的下边界和上边界; $f$ 是此类中的频率; 和 $F$ 是该类别之前的类别中观 察值的男积频率。
例子4.15根据分组数据查找股票收益率的中位数。参考示例 $4.14$ 中的分组数据,我们知道中位数是第 11 个观察值。因此,我们知道中位数在 $0.110$ 到.200班级。 $F$ 等于 9,因为上课前发生了 9 次观察; $f$ 等于 8,因为该类中有 8 个观察值;和较低的 $(\mathrm{L})$ 类的上 $(U)$ 边界分别为 110 和 $0.200$ 。因此,中值估计为
$$
m=.110+\frac{(21 / 2-9)}{8}(.200-.110)=.1269
$$
原始数据的中位数是.1240,这类似于从分组数据计算的结果。

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