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统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|Percentiles, Quartiles, and Interquartile Range
One useful way of describing the relative standing of a value in a set of data is through the use of percentiles. Percentiles give valuable information about the rank of an observation. Most of you are familiar with percentiles from taking standardized college admissions tests such as the SAT or ACT. These tests assign each student not only a raw score but also a percentile to indicate his or her relative performance. For example, a student scoring in the 85 th percentile scored higher than $85 \%$ of the students who took the test and lower than $(100-85)=15 \%$ of those who took it.
Let $x_1, x_2, \ldots$, be a set of measurements arranged in ascending (or descending) order. The $P$ th percentile is a number $x$ such that $P$ percent of the measurement fall below the Pth percentile and $(100-P)$ percent fall above it.
Quartiles are merely particular percentiles that divide the data into quarters. The 25th percentile is known as the first quartile $\left(Q_1\right)$, the 50th percentile is the second $\left(Q_2\right)$, and the 75 th percentile is the third $\left(Q_3\right)$.
To approximate the quartiles from a population containing $N$ observations, the following positioning point formulas are used:
$Q_1=$ value corresponding to the $\frac{N+1}{4}$ ordered observation
$Q_2=$ median, the value corresponding to the $\frac{2(N+1)}{4}=\frac{N+1}{2}$ ordered observation
$Q_3=$ value corresponding to the $\frac{3(N+1)}{4}$ ordered observation
The formulas given for $Q_1$ and $Q_3$ sometimes are defined as the $(N+1) / 4$ th and $(3 N+1) / 4$ th observations, respectively. If $Q_1, Q_2$, or $Q_3$ is not an integer, then the interpolation method can he used to estimate the value of the corresponding observation.
Interquartiles range (IQR), a measure commonly used in conjunction with quartiles, can be defined as
$$
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1
$$
统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|Box and Whisker Plots
A box and whisker plot is a graphical representation of a set of sample data that illustrates the lowest data value $(L)$, the first quartile $\left(Q_1\right)$, the median $\left(Q_2\right.$, Md), the third quartile $\left(Q_3\right)$, the interquartile range (IQR), and the highest data value $(H)$.
In the last section, the following values were determined for the aptitude test scores in Table 4.6: $L=20, Q_1=41+.25(42-41)=41.25, Q_2=\mathrm{Md}=55.5$, $Q_3=75+.75(78-75)=77.25, I Q R=36$, and $H=100$.
A box and whisker plot of these values is shown in Fig. 4.5. The ends of the box are located at the first and third quartiles, and a vertical bar is inserted at the median. Consequently, the length of the box is the interquartile range. The dotted lines are the whiskers; they connect the highest and lowest data values to the end of the box. This means that approximately $25 \%$ of the data values will lie in each whisker and in each portion of the box. If the data are symmetric, the median bar should be located at the center of the box. Consequently, the location of the bar informs us about any skewness of the data; if the bar is located in the left (or right) half of the box, the data are skewed right (or left), as defined in the next section.
In Fig. 4.5, the distribution of the data is skewed to the right because the median bar is located in the left. A box and whisker plot using MINITAB is shown in Fig. 4.6. In this figure, a rectangle (the box) is drawn with the ends (the hinges) drawn at the first and third quartiles $\left(Q_1\right.$ and $\left.Q_3\right)$. The median of the data is shown in the box by the symbol $+$. There are two boxes in Fig. 4.6. The only difference is that the second specifies the starting value at $15 .$
Example $4.13$ Using MINITAB to Compute Some Important Statistics of 40 Aptitude Test Scores. The MINITAB/PC input and printout are presented in Fig. 4.7. This printout presents mean, median, standard deviation, $L$ (MIN), $Q_1, Q_3$, and $H$ (MAX), which we have calculated and analyzed before. Note that the MINITAB/ PC can calculate this information very effectively. In Fig. 4.7, 40 aptitude test scores are first entered into the PC. Then ten statistics will automatically print if the command “MTB $>$ describe Cl” is entered. Two of those statistics. TRMEAN and SEMEAN, are not discussed in this book.
统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|Percentiles, Quartiles, and Interquartile Range
描述一组数据中某个值的相对地位的一种有用方法是使用百分位数。百分位数提供了有关观察等级的有价 值信息。你们中的大多数人都孰悉参加标准化大学入学考试 (例如 SAT 或 ACT) 的百分位数。这些测试不 仅为每个学生分配一个原始分数，而且还分配一个百分位来表明他或她的相对表现。例如，得分在第 85 个百分位的学生得分高于 $85 \%$ 参加考试的学生人数低于 $(100-85)=15 \%$ 那些拿走它的人。
让 $x_1, x_2, \ldots$ ，是一组按升序 (或降序) 排列的测量值。这 $P$ th 百分位数是一个数字 $x$ 这样 $P$ 测量的百分比 低于 Pth 百分位和 $(100-P)$ 百分比低于它。
四分位数只是将数据分成四等分的特定百分位数。第 25 个百分位数被称为第一个四分位数 $\left(Q_1\right)$, 第 50 个 百分位是第二个 $\left(Q_2\right)$, 第 75 个百分位是第三个 $\left(Q_3\right)$.
从包含的总体中近似四分位数 $N$ 观察，使用以下定位点公式:
$Q_1=$ 对应的值 $\frac{N+1}{4}$ 有序观察
$Q_2=$ 中位数，对应的值 $\frac{2(N+1)}{4}=\frac{N+1}{2}$ 有序观察
$Q_3=$ 对应的值 $\frac{3(N+1)}{4}$ 有序观察
给出的公式 $Q_1$ 和 $Q_3$ 有时被定义为 $(N+1) / 4$ 和 $(3 N+1) / 4$ th 观察，分别。如果 $Q_1, Q_2$ ，或者 $Q_3$ 不是 整数，则可以用揷值法估计相应观测值。
四分位距 (IQR) 是一种通常与四分位数结合使用的度量，可以定义为
$$
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1
$$
统计代写|金融统计代写Financial Statistics代考|Box and Whisker Plots
盒须图是一组样本数据的图形表示，它说明了最低数据值 $(L)$, 第一个四分位数 $\left(Q_1\right)$, 中位数 $\left(Q_2, \mathrm{Md}\right)$, 第 三四分位数 $\left(Q_3\right)$ 、四分位距 (IQR) 和最高数据值 $(H)$.
在上一节中，为表 $4.6$ 中的能力倾向测试分数确定了以下值:
$$
\begin{aligned}
&L=20, Q_1=41+.25(42-41)=41.25, Q_2=\mathrm{Md}=55.5, \
&Q_3=75+.75(78-75)=77.25, I Q R=36 ， \quad \text { 和 } H=100 .
\end{aligned}
$$
这些值的箱须图如图 $4.5$ 所示。盒子的末端位于第一个和第三个四分位数，并在中间揷入一个垂直条。因 此，盒子的长度是四分位距。虚线是胡须；它们将最高和最低数据值连接到框的末端。这意味着大约 $25 \%$ 的数据值将位于每个晶须和盒子的每个部分。如果数据是对称的，则中间条应位于框的中心。因此，条形 图的位置告诉我们数据的任何偏斜；如果条形图位于框的左 (或右) 半部分，则数据向右 (或向左) 倾 斜，如下一节中所定义。
在图 $4.5$ 中，数据的分布向右倾斜，因为中值条位于左侧。使用 MINITAB 的箱须图如图 $4.6$ 所示。在该图 中，绘制了一个矩形 (框)，其末端（铰链) 绘制在第一和第三四分位数处 $\left(Q_1\right.$ 和 $\left.Q_3\right)$. 数据的中位数由符 号显示在框中 $+$. 图 $4.6$ 中有两个方框。唯一的区别是第二个指定起始值 15 .
例子4.13使用 MINITAB 计算 40 项能力倾向测试分数的一些重要统计数据。MINITAB/PC 输入和打印输出 如图 $4.7$ 所示。此打印输出显示平均值、中位数、标准差、 $L$ (分钟)， $Q_1, Q_3$ ，和 $H$ (MAX)，我们之前已经 计算和分析过了。请注意，MINITAB/PC 可以非常有效地计算此信息。在图 $4.7$ 中，首先将 40 个能力倾向 据。本书不讨论 TRMEAN 和 SMEAN。
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