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金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Exponential Families and Change of Measure
Now let $X_1, X_2, \ldots$ be i.i.d. r.v.s with common distribution $F$ and c.g.f. $\kappa(\cdot)$. For each $\theta \in \Theta={\theta \in \mathbb{R}: \kappa(\theta)<\infty}$, we denote by $F_\theta$ the probability distribution with density $\mathrm{e}^{\theta x-\kappa(\theta)}$ w.r.t. $F$. In standard statistical terminology, $\left(F_\theta\right){\theta \in \Theta}$ is the exponential family generated by $F$ (it was encountered already in Sect. II.2). Similarly, $\mathbb{P}\theta$ denotes the probability measure w.r.t. which $X_1, X_2, \ldots$ are i.i.d. with common distribution $F_\theta$.
Proposition 3.4 Let $\kappa_\theta(\alpha)=\log \mathbb{E}\theta \mathrm{e}^{\alpha X_1}$ be the c.g.f. of $F\theta$. Then
$$
\kappa_\theta(\alpha)=\kappa(\alpha+\theta)-\kappa(\theta), \mathbb{E}\theta X_1=\kappa^{\prime}(\theta), \operatorname{Var}\theta X_1=\kappa^{\prime \prime}(\theta) .
$$
Proof The formula for $\kappa_\theta(\alpha)$ follows from
$$
\mathrm{e}^{\kappa_\theta(\alpha)}=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\alpha x} F_\theta(\mathrm{d} x)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{(\alpha+\theta) x-\kappa(\theta)} F(\mathrm{~d} x)=\mathrm{e}^{\kappa(\alpha+\theta)-\kappa(\theta)} .
$$
We then get $\mathbb{E}\theta X_1=\kappa\theta^{\prime}(0)=\kappa^{\prime}(\theta), \operatorname{Var}\theta X_1=\kappa\theta^{\prime \prime}(0)=\kappa^{\prime \prime}(\theta)$.
Example $3.5$ Let $F$ be the normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$. Then $\Theta=\mathbb{R}, \kappa(\alpha)=\mu \alpha+\sigma^2 \alpha^2 / 2$ so that
$$
\kappa_\theta(\alpha)=\mu(\alpha+\theta)+\sigma^2(\alpha+\theta)^2 / 2-\mu \theta-\sigma^2 \theta^2 / 2=\left(\mu+\theta \sigma^2\right) \alpha+\sigma^2 \alpha^2 / 2,
$$
which shows that $F_\theta$ is the normal distribution with mean $\mu+\theta \sigma^2$ and the same variance $\sigma^2$.
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|The Chernoff Bound and the Saddlepoint Approximation
Recall the definition of the Legendre-Fenchel transform $\kappa^(\cdot)$ from Sect. 3.2. One has $\kappa^(x)=\theta(x) x-\kappa(\theta(x))$, where $\theta(x)$ is the solution of
$$
x=\kappa^{\prime}(\theta(x))=\mathbb{E}{\theta(x)} X_1 $$ whenever $x$ is an interior point of the interval where $\kappa^(x)<\infty$. Theorem $3.7$ Let $x>\kappa^{\prime}(0)=\mathbb{E} X_1$ and assume that $(3.8)$ has a solution $\theta=\theta(x)$. Then $$ \begin{gathered} \mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \leq \mathrm{e}^{-n \kappa^(x)} \
\frac{1}{n} \log \mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \rightarrow-\kappa^(x), n \rightarrow \infty \ \mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \sim \frac{1}{\theta \sqrt{2 \pi \sigma\theta^2 n}} \mathrm{e}^{-n \kappa^(x)}, n \rightarrow \infty
\end{gathered}
$$
provided in addition for $(3.10)$ that $\sigma_\theta^2=\kappa^{\prime \prime}(\theta)<\infty$ and for $(3.11)$ that $\left|\kappa^{\prime \prime \prime}(\theta)\right|<$ $\infty$ and that $F$ satisfies Cramér’s condition $(C)$.
Condition $(C)$ is an analytical regularity condition on the characteristic function of $F$ and states that $\lim _{s \rightarrow \pm \infty}\left|\mathbb{E} e^{i s X}\right|=0$. Before giving the proof, we add some remarks.
Remark $3.8$ The inequality (3.9) goes under the name of the Chernoff bound, (3.11) is the saddlepoint approximation, and (3.10) (and some extensions to $\mathbb{P}\left(S_n \in A\right)$ for more general sets than half-lines) is associated with the name of Cramér. See further Sect. XIII.4.1.
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Exponential Families and Change of Measure
现在让 $X_1, X_2, \ldots$ 成为具有共同分布的 iidrvs $F$ 和 $\operatorname{cgf} \kappa(\cdot)$. 对于每个 $\theta \in \Theta=\theta \in \mathbb{R}: \kappa(\theta)<\infty$ ，我们 表示为 $F_\theta$ 有密度的概率分布 $\mathrm{e}^{\theta x-\kappa(\theta)}$ 写 $F$. 在标准统计术语中， $\left(F_\theta\right) \theta \in \Theta$ 是由生成的指数族 $F$ (在第 II.2 节中已经遇到过）。相似地， $\mathbb{P} \theta$ 表示概率测度 wrt $X_1, X_2, \ldots$ 具有共同分布的独立同分布 $F_\theta$. 命题 $3.4$ 让 $\kappa_\theta(\alpha)=\log \mathbb{E} \theta \mathrm{e}^{\alpha X_1}$ 成为 $c g f F \theta$. 然后
$$
\kappa_\theta(\alpha)=\kappa(\alpha+\theta)-\kappa(\theta), \mathbb{E} \theta X_1=\kappa^{\prime}(\theta), \operatorname{Var} \theta X_1=\kappa^{\prime \prime}(\theta) .
$$
证明公式为 $\kappa_\theta(\alpha)$ 从
$$
\mathrm{e}^{\kappa_\theta(\alpha)}=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\alpha x} F_\theta(\mathrm{d} x)=\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{(\alpha+\theta) x-\kappa(\theta)} F(\mathrm{~d} x)=\mathrm{e}^{\kappa(\alpha+\theta)-\kappa(\theta)} .
$$
然后我们得到 $\mathbb{E} \theta X_1=\kappa \theta^{\prime}(0)=\kappa^{\prime}(\theta), \operatorname{Var} \theta X_1=\kappa \theta^{\prime \prime}(0)=\kappa^{\prime \prime}(\theta)$.
例子 $3.5$ 让 $F$ 是具有均值的正态分布 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$. 然后 $\Theta=\mathbb{R}, \kappa(\alpha)=\mu \alpha+\sigma^2 \alpha^2 / 2$ 以便
$$
\kappa_\theta(\alpha)=\mu(\alpha+\theta)+\sigma^2(\alpha+\theta)^2 / 2-\mu \theta-\sigma^2 \theta^2 / 2=\left(\mu+\theta \sigma^2\right) \alpha+\sigma^2 \alpha^2 / 2
$$
这表明 $F_\theta$ 是具有均值的正态分布 $\mu+\theta \sigma^2$ 和相同的方差 $\sigma^2$.
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|The Chernoff Bound and the Saddlepoint Approximation
回忆一下勒让德-芬切尔变换的定义 $\left.\kappa^{(} \cdot\right)$ 从宗。3.2.一个有 $\kappa^{\prime}(x)=\theta(x) x-\kappa(\theta(x))$ ，在哪里 $\theta(x)$ 是解决 方䅁
$$
x=\kappa^{\prime}(\theta(x))=\mathbb{E} \theta(x) X_1
$$
每当 $x$ 是区间的一个内点，其中 $\left.\kappa^{\prime} x\right)<\infty$. 定理 $3.7$ 让 $x>\kappa^{\prime}(0)=\mathbb{E} X_1$ 并假设 $(3.8)$ 有解决办法 $\theta=\theta(x)$. 然后
$$
\left.\mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \leq \mathrm{e}^{-n \kappa(x)} \frac{1}{n} \log \mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \rightarrow-\kappa^{(} x\right), n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(S_n>n x\right) \sim \frac{1}{\theta \sqrt{2 \pi \sigma \theta^2 n}} \mathrm{e}^{\left.-n \kappa^{(} x\right)}, n \rightarrow \infty
$$
除了提供 $(3.10)$ 那 $\sigma_\theta^2=\kappa^{\prime \prime}(\theta)<\infty$ 并且对于 $(3.11)$ 那 $\left|\kappa^{\prime \prime \prime}(\theta)\right|<\infty$ 然后 $F$ 满足 Cramer 条件 $(C)$.
健康) 状况 $(C)$ 是特征函数的解析正则条件 $F$ 并指出 $\lim _{s \rightarrow \pm \infty}\left|\mathbb{E} e^{i s X}\right|=0$. 在给出证明之前，我们添加 一些注释。
评论3.8不等式 (3.9) 以 Chernoff 界的名称命名，(3.11) 是鞍点近似，(3.10) (以及对 $\mathbb{P}\left(S_n \in A\right)$ 对于比 半线更一般的集合) 与克拉默的名字相关联。参见第 1 节。XIII.4.1.
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