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金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Tails of Sums of Light-Tailed Random Variables
We consider here the asymptotics of $\overline{F^{* n}}(x)=\mathbb{P}\left(S_n>x\right)$ and the corresponding density $f^{* n}(x)$ for an i.i.d. light-tailed sum as $x$ goes to $\infty$ with $n$ fixed. This is similar to the set-up for the subexponential limit theory developed in Sect. 2, but differs from the large deviations set-up of Sect. 3 where $n$ and $x$ went to $\infty$ at the same time. The theory which has been developed applies to distributions with a density or tail close to $\mathrm{e}^{-c x^\beta}$ where $\beta \geq 1$.
The cases $\beta=1$ and $\beta>1$ are intrinsically different (of course, $\beta<1$ leads to a heavy tail). The difference may be understood by looking at two specific examples from Sect. 1 with $n=2$. The first is the exponential distribution in Example $1.3$ where $\beta=1$, which shows that if $X_1+X_2>x$, then approximately $X_1, X_2$ are both uniform between 0 and $x$, with the joint distribution concentrating on the line $x_1+$ $x_2=x$. On the other hand, for the normal distribution where $\beta=2$, Example $1.4$ shows that $X_1, X_2$ are both approximately equal to $x / 2$ if $X_1+X_2>x$.
For ease of exposition, we make some assumptions that are simplifying but not all crucial. In particular, we take $F$ to be concentrated on $(0, \infty)$ and having a density $f(x)$, and exemplify ‘close to’ by allowing a modifying regularly varying prefactor to $\mathrm{e}^{-c x^\beta}$. For the density, this means
$$
f(x) \sim L(x) x^{\alpha+\beta-1} \mathrm{e}^{-c x^\beta}, \quad x>0,
$$
with $L(\cdot)$ slowly varying. However, in the rigorous proofs we only take $n=2$ and $L(x) \equiv d$ will be constant. We shall need the following simple lemma (cf. Exercise 4.1):
Lemma 4.1 If (4.1) holds with $\beta \geq 1$, then $\bar{F}(x)=\mathbb{P}(X>x) \sim$ $L(x) x^\alpha \mathrm{e}^{-c x^\beta} / c \beta$
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Aggregate Claims and Compound Sums: Generalities
Let $A$ be the total amount of claims to be covered by an insurance company in a given time period (say one year). The company will possess statistics to estimate basic quantities like $\mu_A=\mathbb{E} A$ and will have made sure that the premiums $p$ received during the same time period exceed $\mu_A$ with some margin covering administration costs, profits to shareholders, etc. Nevertheless, due to the random nature of $A$, one is faced with an uncertainty as to whether in fact $A$ is much larger than $\mu_A$, and what is the probability that such unfortunate events occur. The topic of this and the following section is to present methods for quantitative evaluations of risks of this type.
Risk evaluation, as for any kind of probability calculation, requires a model. We will assume that $A=V_1+\cdots+V_N$, where $N$ is the total number of claims, $V_n$ is the size of the $n$th claim, and that the $V_n$ are i.i.d. with common distribution $F$ and independent of $N$, an $\mathbb{N}$-valued r.v. with point probabilities $p_n=\mathbb{P}(N=n)$. The problem is to say something about $\mathbb{P}(A>x)$ for large $x$ under these assumptions. Often the purpose of this is VaR (Value-at-Risk) calculations, that is, the evaluation of $\alpha$-quantiles $q_\alpha(A)$, say for $\alpha=95,97.5$ or $99 \%$.
We will start with some elementary analytical formulas for transforms, moments, etc. For notation and terminology, see Sect. A.11 in the Appendix.
Proposition $5.1$ The m.g.f. of $A$ is $\widehat{p}[\widehat{F}[\theta]]$, where $\widehat{p}[z]=\mathbb{E} z^N$ is the p.g.f. of $N$ and $\widehat{F}[\theta]=\mathbb{E} e^{\theta V}$ the m.g.f. of F. Further,
$$
\mu_A=\mu_N \mu_V, \sigma_A^2=\sigma_N^2 \mu_V^2+\mu_N \sigma_V^2,
$$
where $\mu_A=\mathbb{E} A, \sigma_V^2=\mathbb{V a r} V$, etc.
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Tails of Sums of Light-Tailed Random Variables
我们在这里考虑渐近线 $\overline{F^{* n}}(x)=\mathbb{P}\left(S_n>x\right)$ 和相应的密度 $f^{* n}(x)$ 对于 iid 轻尾总和为 $x$ 去 $\infty$ 和 $n$ 固定 的。这类似于 Sect 中开发的次指数极限理论的设置。2，但与 Sect 的大偏差设置不同。 3 哪里 $n$ 和 $x$ 去了 $\infty$ 同时。已经发展起来的理论适用于密度或尾部接近的分布 $\mathrm{e}^{-c x^\beta}$ 在哪里 $\beta \geq 1$.
案例 $\beta=1$ 和 $\beta>1$ 本质上是不同的（当然， $\beta<1$ 导致沉重的尾巴) 。通过查看 Sect 的两个具体示例， 可以理解差异。1个 $n=2$. 第一个是示例中的指数分布 $1.3$ 在哪里 $\beta=1$ ，这表明如果 $X_1+X_2>x$ ，那么 大约 $X_1, X_2$ 都在 0 和 $x$, 联合分布集中在线上 $x_1+x_2=x$. 另一方面，对于正态分布， $\beta=2$ ， 例子1.4 表明 $X_1, X_2$ 都大约等于 $x / 2$ 如果 $X_1+X_2>x$.
为了便于说明，我们做了一些简化但并非全部至关重要的假设。特别是，我们采取 $F$ 集中在 $(0, \infty)$ 并且有 密度 $f(x)$ ，并通过允许修改有规律变化的前置因子来举例说明“接近” $\mathrm{e}^{-c x^3}$. 对于密度，这意味着
$$
f(x) \sim L(x) x^{\alpha+\beta-1} \mathrm{e}^{-c x^3}, \quad x>0,
$$
和 $L(\cdot)$ 慢慢变化。然而，在严格的证明中，我们只取 $n=2$ 和 $L(x) \equiv d$ 将是恒定的。我们将需要以下简 单的引理（参见练习 4.1）：
引理 4.1 如果 (4.1) 成立 $\beta \geq 1$ ，然后 $\bar{F}(x)=\mathbb{P}(X>x) \sim L(x) x^\alpha \mathrm{e}^{-c x^\beta} / c \beta$
金融代写|风险理论代写Risk theory代考|Aggregate Claims and Compound Sums: Generalities
让 $A$ 是保险公司在给定时间段（比如一年) 内承保的索赔总额。该公司将拥有统计数据来估计基本数量， 例如 $\mu_A=\mathbb{E} A$ 并将确保保艴 $p$ 在同一时间段内收到超过 $\mu_A$ 有一些利闰来支付管理成本、股东利润等。然 而，由于随机性 $A$,一个人面临着关于是否事实上 $A$ 远大于 $\mu_A$ ，以及发生这种不幸事件的概率是多少。本 节和下一节的主题是介绍对此类风险进行定量评估的方法。
与任何一种概率计算一样，风险评估都需要一个模型。我们将假设 $A=V_1+\cdots+V_N$ ，在哪里 $N$ 是索 赔总数， $V_n$ 是的大小 $n$ 索赔，并且 $V_n$ 具有共同分布的独立同分布 $F$ 并且独立于 $N$ ，一个 $N$ 具有点概率的值 $\mathrm{rv}n=\mathbb{P}(N=n)$. 问题是要说些什么 $\mathbb{P}(A>x)$ 对于大 $x$ 在这些假设下。通常这样做的目的是计算 $\mathrm{VaR}$ (风险价值) ，即评估 $\alpha$-分位数 $q\alpha(A)$ ，说 $\alpha=95,97.5$ 或者 $99 \%$.
我们将从变换、矩等的一些基本分析公式开始。有关符号和术语，请参阅第 1 节。附录 A.11。
$$
\mu_A=\mu_N \mu_V, \sigma_A^2=\sigma_N^2 \mu_V^2+\mu_N \sigma_V^2,
$$
在哪里 $\mu_A=\mathbb{E} A, \sigma_V^2=\mathbb{V a r} V$ ， ETC。
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