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金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Square Root Transform
The first example is the U.S. Census Bureau monthly series of total inventory of nonmetallic mineral products in the USA, between the years 1992 and 2011. The default square root transform in X-12-ARIMA is $0.25+2\left(\sqrt{\mathbf{X}_t}-1\right)$, which is a shifted and scaled version of the basic $\sqrt{\mathbf{X}_t}$ square root transform, and the two adjusted log likelihoods are identical. Using X-12-ARIMA’s automdl and transform specs, we compare the square root transform to both a logarithmic transform and to no transform at all. Typically, the model with the smallest AICC would be preferred over other contenders, but since the same SARIMA $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right)$ model was found to fit all three transforms of the data, the best transform would equivalently be indicated by the highest log likelihood. Table 1 displays the log likelihoods (adjusted for the transformations) along with the corresponding AICC. We see that the square root transform yields the highest log likelihood in the parent space and also the lowest value for AICC; this leads us to prefer the use of a square root transform for this total inventory series.
We proceed by using X-12-ARIMA to obtain an additive decomposition of the series $\left{X_t\right}$, where $X_t$ is just the square root of $\mathbf{X}_t$. In checking the difference series $X_t-\left(N_t+S_t\right)$, we note that the differences appear to be centered around 0 , with a maximum magnitude no greater than $5 \times 10^{-13}$; numerical error from rounding and computer precision explains why this difference is not identically 0 . Similar results hold for the difference between $\mathbf{X}_t$ and $\mathbf{N}_t \oplus \mathbf{S}_t$, which is just the application of $\varphi^{-1}$ to $N_t+S_t$. However, there are substantial discrepancies between $\mathbf{X}_t$ and $\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t$, as expected. For $\mathbf{N}_t=\varphi^{-1}\left(N_t\right)$ and $\mathbf{S}_t=\varphi^{-1}\left(S_t\right)$. Fig.5 shows a plot of the untransformed séries $\mathbf{X}_t$ along with $\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t$ on the top panel, and on the bottom panel, we hig. 5 confirms that the additive decomposition in transformed space does not translate to an additive decomposition in parent space, and the bottom panel shows that the deviations from 0 in this case are quite pronounced. Furthermore, while the lower panel of Fig. 5 indicates that the differences are roughly unbiased (the series is centered around zero), it also displays a highly seasonal pattern evincing some heteroskedasticity. We explain this behavior below.
Noting that the seasonal $S_t$ can be negative, it follows that $\mathbf{S}_t$ can be negative as well; however, if the original data $\mathbf{X}_t$ is always positive, it follows that
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\mathbf{S}_t+\mathbf{N}_t+\operatorname{sign}\left(\mathbf{S}_t \mathbf{N}_t\right) \sqrt{\left|\mathbf{S}_t\right|\left|\mathbf{N}_t\right|} .
$$
Typically $\mathbf{N}_t$ is positive as well, so that
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t-\left(\mathbf{S}_t+\mathbf{N}_t\right)=\operatorname{sign}\left(\mathbf{S}_t\right) \sqrt{\left|\mathbf{S}_t\right|} \sqrt{\mathbf{N}_t}
$$
金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Logistic Transform
The second example is the monthly unemployment rate for 16-19-year-old individuals of Hispanic origin between the years 1991 and 2011 ; the data was obtained from the Bureau of Labor Statistics. For rate data, the logistic transform $\varphi(\mathbf{a})=$ $\log (\mathbf{a})-\log (1-\mathbf{a})$ is sometimes warranted, as it ensures fits and predictions that are guaranteed to fall between 0 and 1. As in the previous example, we use X-12-ARIMA’s automdl and transform specs to help us compare the logistic transform to both a logarithmic transform and to no transform at all. Again, thê procedure selects the same SARIMA $\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right)$ model for all three transforms, so whichever transform has the highest $\log$ likelihood in the parent space will also have the lowest $\mathrm{AICC}$. Table 2 displays the log likelihoods (adjusted for the transformations) along with the corresponding AICC, and we see that the logistic transform does indeed result in a better model compared to the other two transformations.
We proceed by performing a logistic transform on $\mathbf{X}_t$ and then running $\mathrm{X}-12-$ ARIMA on the transformed series to obtain an additive seasonal decomposition. Checking the series of differences $X_t-\left(N_t+S_t\right)$, we find that the magnitude of the differences is bounded by $6 \times 10^{-15}$. These deviations from 0 are entirely explained by numerical error produced from passing the data through X-12-ARIMA. Similar results hold for $\mathbf{X}_t-\left(\mathbf{N}_t \oplus \mathbf{S}_t\right)$. But there are notable discrepancies between $\mathbf{X}_t$ and $\left(\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t\right)$, as in the previous illustration, as shown in Fig. 6. The top panel shows that the additive nature of the decomposition in transformed space is not preserved when mapped back to the parent space, while the bottom panel shows that this discrepancy (in the parent space) is a time series centered around $-0.5$. Also, the lower panel of discrepancies $\mathbf{X}_t-\left(\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t\right)$ exhibits seasonal structure; we explain this phenomenon next.
For the logistic transform, the composition operator $\oplus$ is defined as
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\frac{\mathbf{S}_t \cdot \mathbf{N}_t}{1-\mathbf{S}_t-\mathbf{N}_t+2 \mathbf{S}_t \cdot \mathbf{N}_t},
$$
金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Square Root Transform
第一个例子是美国人口普查局在 1992 年到 2011 年之间的美国非金属矿产品总库存月度序列。X-12且两个调整的对数似然是相同的。使用 X-12-ARIMA 的 automdl 和变换规范，我们将平方根变换与对数 变换和完全没有变换进行比较。通常，具有最小 AICC 的模型将优于其他竞争者，但由于相同的 SARIMA $\left(\begin{array}{lll}0 & 2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right)$ 模型被发现适合数据的所有三个变换，最佳变换将等效地由最高对数似然指示。 表 1 显示了对数似然度（针对转换进行了调整) 以及相应的 AICC。我们看到平方根变换在父空间中产生 最高的对数似然值，也是 AICC 的最低值；这导致我们更喜欢对这个总库存系列使用平方根变换。
我们继续使用 X-12-ARIMA 来获得序列的加法分解 \left {X_t|right $}$, 在哪里 $X_t$ 只是平方根 $\mathbf{X}_t$. 在检查差异 系列 $X_t-\left(N_t+S_t\right)$ ，我们注意到差异似乎以 0 为中心，最大幅度不大于 $5 \times 10^{-13}$; 舍入和计算机精度 的数值误差解释了为什么这种差异不完全相同 0。相似的结果适用于 $\mathbf{X}_t$ 和 $\mathbf{N}_t \oplus \mathbf{S}_t$, 这只是应用 $\varphi^{-1}$ 至 $N_t+S_t$. 但是，两者之间存在很大差异 $\mathbf{X}_t$ 和 $\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t$ ，正如预期的那样。为了 $\mathbf{N}_t=\varphi^{-1}\left(N_t\right)$ 和 $\mathbf{S}_t=\varphi^{-1}\left(S_t\right)$. 图 5 显示了末转换序列的图 $\mathbf{X}_t$ 随着 $\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t$ 在顶部面板上，在底部面板上，我们高。图 5 证实了变换空间中的加性分解不会转化为父空间中的加性分解，并且底部面板显示在这种情况下与 0 的 偏差非常明显。此外，虽然图 5 的下图表明差异大致是无偏的（该系列以雾为中心），但它也显示出高度 季节性的模式，表明存在一些异方差性。我们在下面解释这种行为。
注意到季节性 $S_t$ 可以为负，因此 $\mathbf{S}_t$ 也可以是负数；但是，如果原始数据 $\mathbf{X}_t$ 总是积极的，因此
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\mathbf{S}_t+\mathbf{N}_t+\operatorname{sign}\left(\mathbf{S}_t \mathbf{N}_t\right) \sqrt{\left|\mathbf{S}_t\right|\left|\mathbf{N}_t\right|}
$$
通常 $\mathbf{N}_t$ 也是正数，所以
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t-\left(\mathbf{S}_t+\mathbf{N}_t\right)=\operatorname{sign}\left(\mathbf{S}_t\right) \sqrt{\left|\mathbf{S}_t\right|} \sqrt{\mathbf{N}_t}
$$
金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Logistic Transform
第二个例子是 1991 年至 2011 年间 16-19 岁西班牙裔个人的月失业率；数据来自劳工统计局。对于速率 数据，逻辑变换 $\varphi(\mathbf{a})=\log (\mathbf{a})-\log (1-\mathbf{a})$ 有时是有保证的，因为它确保拟合和预测保证在 0 和 1 之 间。与前面的示例一样，我们使用 X-12-ARIMA 的 automdl 和变换规范来帮助我们将逻辑变换与对数变 换和根本没有转变。同样，该程序选择相同的 SARIMA( $\left.\begin{array}{llll}0 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1\end{array}\right)$ 所有三个变换的模型，所 以无论哪个变换具有最高 $\log$ 父空间中的可能性也将最低AICC. 表 2 显示了对数似然 (针对转换进行了调 整) 以及相应的 AICC，我们看到与其他两个转换相比，逻辑转换确实产生了更好的模型。
我们继续执行逻辑变换 $\mathbf{X}_t$ 然后运行X – 12-ARIMA 对变换后的序列进行加性季节分解。检查系列差异 $X_t-\left(N_t+S_t\right)$ ，我们发现差异的大小为 $6 \times 10^{-15}$. 这些与 0 的偏差完全由通过 X-12-ARIMA 传递数据 产生的数值误差来解释。类似的结果适用于 $\mathbf{X}_t-\left(\mathbf{N}_t \oplus \mathbf{S}_t\right)$. 但两者之间存在显着差异 $\mathbf{X}_t$ 和 $\left(\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t\right)$ ，如上图所示，如图 6 所示。顶部面板显示，当映射回父空间时，变换空间中分解的加性性质没有保留， 而底部面板显示这种差异 (在父空间) 是一个以 $-0.5$. 此外，下面板的差异 $\mathbf{X}_t-\left(\mathbf{N}_t+\mathbf{S}_t\right)$ 表现出季节 性结构；我们接下来解释这个现象。 对于逻辑变换，组合算子 $\oplus$ 定义为
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\frac{\mathbf{S}_t \cdot \mathbf{N}_t}{1-\mathbf{S}_t-\mathbf{N}_t+2 \mathbf{S}_t \cdot \mathbf{N}_t}
$$
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