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金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Statistical Background
Let us label the original domain of the data as the “parent space,” and all variables will be written in bold. The “transformation space” arises from application of a one-to-one mapping $\varphi$, which is chosen so as to reduce heteroscedasticity, skewness, and kurtosis in an effort to produce data that is closer to having a Gaussian structure. For Gaussian time series variables, the additive group structure is extremely natural: optimal mean square error estimates of quantities of interest (such as future values, missing values, unknown signals, etc.) are linear in the data, and hence are intimately linked to the addition operator. Errors in estimation are assessed by comparing estimator and target via subtraction-this applies to signal extraction, forecasting, and any other Gaussian prediction problem. Therefore the additive operator is quite natural for relating quantities in the transformation space.
It is for the above reasons (the linearity of estimators when the data is Gaussian) that the sum of signal and noise estimates equals the data process; no other algebraic operation is natural for relating Gaussian signal and noise. Given an observed time series $\left{\mathbf{X}_t\right}$ in the parent space, say for $1 \leq t \leq n$, the analyst would select $\varphi$ via exploratory analysis such that $X_t=\varphi\left(\mathbf{X}_t\right)$ is representable as a sample from a Gaussian process. Most of the classical results on signal extraction (Bell, 1984; McElroy, 2008) and projection (Brockwell and Davis, 1291) are interpretable in terms of a Gaussian distribution. Mơré précisély, thé éstimates coommonly uséd in time series applications minimize the mean squared prediction error among all linear estimators, and are also conditional expectations when the process is Gaussian. If $\varphi$ does not produce a Gaussian distribution, at a minimum it should reduce skewness and kurtosis in the marginal distributions.
Also, it is necessary that $\varphi$ be invertible, and it will be convenient for it to be a continuously differentiable function. Denoting the joint probability distribution function (pdf) of the transformed data by $p_{X_1, \cdots, X_n}\left(x_1, \cdots, x_n\right)$, the joint pdf of the original data is then
$$
p_{\mathbf{X}1, \cdots, \mathbf{X}_n}\left(\mathbf{x}_1, \cdots, \mathbf{x}_n\right)=p{X_1, \cdots, X_n}\left(x_1, \cdots, x_n\right) \cdot \Pi_{t=1}^n \frac{\partial \varphi\left(\mathbf{x}t\right)}{\partial x} . $$ Of course, here $x_t=\varphi\left(\mathbf{x}_t\right)$. If we select a parametric family to model $p{X_1, \cdots, X_n}$, e.g., a multivariate Gaussian pdf, then (1) can be viewed as a function of model parameters rather than of observed data, and we obtain the likelihood. It is apparent that the Jacobian factor does not depend on the parameters, and hence is irrelevant for model fitting purposes. That is, the model parameter estimates are unchanged by working with the likelihood in the parent space.
金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Algebraic Structure of the Parent Space
Given an additive operation in the transformed space, e.g., $x_t+x_{t-1}$, it is crucial to define a corresponding composition rule $\oplus$ in the parent domain such that $\varphi$ is a group homomorphism. A group is a set together with an associative composition law, such that an identity element exists and every element has an inverse (Artin, 1991). A homomorphism is a transformation of groups such that the laws of composition are respected. The groups under consideration are $\mathscr{R}=(\mathbb{R},+)$ for the transformed space, and $\mathscr{G}=\left(\varphi^{-1}(\mathbb{R}), \oplus\right)$ for the parent space. Consider the situation of latent components in the transformed space, where $X_t=S_t+N_t$ is a generic signal-noise decomposition. Then the components in the parent space are $\varphi^{-1}\left(S_t\right)=\mathbf{S}_t$ and $\varphi^{-1}\left(N_t\right)=\mathbf{N}_t$, which can be quantities of interest in their own right. How do we define an algebraic structure that allows us to combine $\mathbf{S}_t$ and $\mathbf{N}_t$, such that the result is always $\mathbf{X}_t$ ? What is needed is a group operator $\oplus$ such that
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\mathbf{X}_t=\varphi^{-1}\left(S_t+N_t\right)=\varphi^{-1}\left(\varphi\left(\mathbf{S}_t\right)+\varphi\left(\mathbf{N}_t\right)\right)
$$
This equation actually suggests the definition of $\oplus$ : any two elements $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ in the parent group $B G$ are summed via the rule
$$
\mathbf{a} \oplus \mathbf{b}=\varphi^{-1}(\varphi(\mathbf{a})+\varphi(\mathbf{b})) .
$$
This definition “lifts” the additive group structure of $\mathscr{R}$ to $\mathscr{G}$ such that: (1) $\varphi^{-1}(0)=$ $1_G$ is the unique identity element of $\mathscr{G} ;(2) \mathscr{G}$ has the associative property; (3) the unique inverse of any $\mathbf{a} \in \mathscr{G}$ is given by $\mathbf{a}^{-1}=\varphi^{-1}(-\varphi(\mathbf{a}))$. These properties are verified below, and establish that $\mathscr{G}$ is indeed a group. Moreover, the group is Abelian and $\varphi$ is a group isomorphism.
First, a $\oplus \varphi^{-1}(0)=\varphi^{-1}(\varphi(\mathbf{a})+0)=\mathbf{a}$, which together with the reverse calculation shows that $\varphi^{-1}(0)$ is an identity; uniqueness similarly follows. Associativity is a book-keeping exercise. For the inverse, note that $\mathbf{a} \oplus \varphi^{-1}(-\varphi(\mathbf{a}))=$ $\varphi^{-1}(\varphi(\mathbf{a})-\varphi(\mathbf{a}))=\varphi^{-1}(0)=1 \mathscr{G}$. This shows that $\mathscr{G}$ is a group, and commutativity follows from (3) and the commutativity of addition; hence, $\mathscr{G}$ is an Abelian group. Finally, $\varphi$ is a bijection as well as a homomorphism, i.e., it is an isomorphism.
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让我们将数据的原始域标记为“父空间”，所有变量都将用粗体书写。“转换空间“源于一对一映射的应用 $\varphi$ ，
选择它是为了减少异方差性、偏度和峰度，以产生更接近高斯结构的数据。对于高斯时间序列变量，加性 组结构非常自然：感兴趣的量 (如末来值、缺失值、末知信号等) 的最优均方误差估计在数据中是线性 的，因此与加法运算符。通过减法比较估计器和目标来评估估计误差一一这适用于信号提取、预测和任何 其他高斯预测问题。因此，加法算子对于变换空间中的相关量是非常自然的。
正是由于上述原因（数据为高斯时估计量的线性)，信号和噪声估计的总和等于数据过程；没有其他代数 运算对于关联高斯信号和噪声是自然的。给定观察到的时间序列 Veft{Mmathbf ${X}_{-}$t \right} $}$在父空间中，说 $1 \leq t \leq n$, 分析师会选择 $\varphi$ 通过探索性分析，使得 $X_t=\varphi\left(\mathbf{X}t\right)$ 可表示为来自高斯过程的样本。大多数关 于信号提取 (Bell，1984；McElroy，2008) 和投影 (Brockwell 和 Davis，1291) 的经典结果都可以用高 斯分布来解释。确切地说，时间序列应用程序中常用的估计值最小化了所有线性估计器中的均方预测误 差，并且当过程为高斯时也是条件期望。如果 $\varphi$ 不会产生高斯分布，至少它应该减少边缘分布中的偏度和 峰庻。 此外，有必要 $\varphi$ 是可逆的，并且它是一个连续可微的函数将很方便。将转换后数据的联合概率分布函数 $(\mathrm{pdf})$ 表示为 $p{X_1, \cdots, X_n}\left(x_1, \cdots, x_n\right)$ ，则原始数据的联合 $\mathrm{pdf}$ 为
$$
p_{\mathbf{X} 1, \cdots, \mathbf{X}n}\left(\mathbf{x}_1, \cdots, \mathbf{x}_n\right)=p X_1, \cdots, X_n\left(x_1, \cdots, x_n\right) \cdot \Pi{t=1}^n \frac{\partial \varphi(\mathbf{x} t)}{\partial x} .
$$
当然，这里 $x_t=\varphi\left(\mathbf{x}_t\right)$. 如果我们选择一个参数族来建模 $p X_1, \cdots, X_n$ ，例如，一个多元高斯 pdf，那么 (1) 可以被视为模型参数的函数，而不是观测数据的函数，并且我们获得似然度。很明显，雅可比因子不 依赖于参数，因此与模型拟合目的无关。也就是说，模型参数估计值通过使用父空间中的似然性而没有改变。
金融代写|金融实证代写Financial Empirical 代考|Algebraic Structure of the Parent Space
给定变换空间中的加法运算，例如， $x_t+x_{t-1}$ ，定义相应的组合规则至关重要 $\oplus$ 在父域中，这样 $\varphi$ 是群同 态。一个群是一个带有关联组合定律的集合，这样一个单位元㸷存在并且每个元素都有一个逆元素 (Artin，1991) 。同态是组的变换，使得组合定律得到尊重。正在考虑的群体是 $\mathscr{R}=(\mathbb{R},+)$ 对于转换后 的空间，以及 $\mathscr{G}=\left(\varphi^{-1}(\mathbb{R}), \oplus\right)$ 为父空间。考虑变换空间中潜在成分的情况，其中 $X_t=S_t+N_t$ 是一 种通用的信号噪声分解。那么父空间中的组件就是 $\varphi^{-1}\left(S_t\right)=\mathbf{S}_t$ 和 $\varphi^{-1}\left(N_t\right)=\mathbf{N}_t$ ，这可能是他们自己 感兴趣的数量。我们如何定义一个允许我们结合的代数结构 $\mathbf{S}_t$ 和 $\mathbf{N}_t$ ，这样结果总是 $\mathbf{X}_t$ ? 需要的是组操作员 $\oplus$ 这样
$$
\mathbf{S}_t \oplus \mathbf{N}_t=\mathbf{X}_t=\varphi^{-1}\left(S_t+N_t\right)=\varphi^{-1}\left(\varphi\left(\mathbf{S}_t\right)+\varphi\left(\mathbf{N}_t\right)\right)
$$
这个方程实际上暗示了 $\oplus$ : 任意两个元素 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 在父组中 $B G$ 通过规则求和
$$
\mathbf{a} \oplus \mathbf{b}=\varphi^{-1}(\varphi(\mathbf{a})+\varphi(\mathbf{b})) .
$$
这个定义“提升”了 $\mathscr{R}$ 至 $\mathscr{G}$ 这样: $(1) \varphi^{-1}(0)=1_G$ 是唯一的身份元素 $\mathscr{G} ;(2) \mathscr{G}$ 具有关联属性；(3) 任意的唯 一逆 $\mathbf{a} \in \mathscr{G}$ 是 (谁) 给的 $\mathrm{a}^{-1}=\varphi^{-1}(-\varphi(\mathbf{a})$ ). 这些属性在下面得到验证，并确定C确实是一组。此外， 该群是阿贝尔群，并且 $\varphi$ 是群同构。 来。关联性是一种记账练习。对于逆，请注意 $\mathbf{a} \oplus \varphi^{-1}(-\varphi(\mathbf{a}))=$ $\varphi^{-1}(\varphi(\mathbf{a})-\varphi(\mathbf{a}))=\varphi^{-1}(0)=1 \mathscr{G}$. 这表明 $\mathscr{G}$ 是一个群，交换律由 (3) 和加法交换律得出；因此， $\mathscr{G}$ 是一个阿贝尔群。最后， $\varphi$ 既是双射又是同态，即它是同构。
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