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金融代写|衍生品代写Derivatives代考|Bachelier model

One of the features of the Black Scholes Merton (BSM) and Black models is they assume that the underlying prices are lognormally distributed. From a price perspective, this means the models do not allow for the possibility that prices could turn negative.

For conventional financial assets such as shares, bonds, and foreign exchange this is a reasonable assumption; when a company goes bust, their shares will stop trading rather than turn negative.

As ever, commodities are different. Negative prices have been experienced in power and gas (see chapters 7 and 8 ) and calendar spread trades can flip between positive and negative values. The issue of negative prices and index values came more to the fore in 2020 as a result of activity in the shipping market (e.g. Baltic Capesize Index) and in April 2020 for the first time, crude oil (see see chapter 6). This brought into question the use of models such as Black 1976 for valuing and risk managing options on futures.

An alternative to this model is the Bachelier model, which dates from around $1900 .$ Some of the key characteristics of the Bachelier model are:

  • It assumes that the underlying price follows a normal rather than lognormal distribution and so allows for the possibility of negative prices.
  • Volatility is expressed as a monetary value rather than as a proportional percentage value. For example, assume an asset is trading at a price of USD $10.00$ with an implied volatility of $10 \%$ per day. This would suggest that the asset is expected to trade with an approximate range of prices between USD 9.00-11.00. If the price drops to USD $5.00$, but the implied volatility remains the same, then the approximate range of prices would be $+/-50$ cents. Using the same set of prices, a Bachelier model would express volatility as a dollar value, say, USD 1.00. So, at USD $10.00$ the range of prices would be similar. But if prices fell to USD $5.00$ then under a Bachelier framework, the range of prices remains at $+/-$ USD 1.00. At very low prices (e.g. USD 1.00), but with volatility expressed as a dollar value (e.g. USD $20.00$ ), it means that the model implies a range of values from -USD $19.00$ to +USD 21.00.
  • Since the model allows for negative prices, OTM puts will be valued relatively higher using a Bachelier model rather than a BSM framework. Since the premium reflects the expected payout the Bachelier model reflects, this pushes the price relatively higher than the BSM framework. For example, using a simple Bachelier model a three-month put option with a zero strike, an underlying price of zero, and a dollar volatility of USD $40.00$ returns a premium of USD 7.98. A Black 1976 model returns a premium value of USD $0.00$.

金融代写|衍生品代写Derivatives代考|Put-call parity: the theory

Although pricing models provide one linkage between the underlying price, the forward rate and the option premium, the concept of put-call parity is an alternative representation. Tompkins (1994) provides a detailed analysis of the concept.

Put-call parity is a concept that attempts to link options with their underlying assets such that arbitrage opportunities could be identified. The conditions of put-call parity will hold if the strike, maturity, and amount are the same.

Although put-call parity varies according to the underlying asset, in its simplest form it can be represented by the following expression:
$$
C-P=F-E
$$
Where
$\mathrm{C}=$ Price of a call option
$\mathrm{P}=$ Price of a put option
$\mathrm{F}=$ Forward price of the underlying asset
$\mathrm{E}=$ Strike rate for the option
Strictly speaking the right hand side of the expression would need to be present valued as the strike and the forward price relate to a future time period, whereas the call and put premiums are expressed in present value terms.

Although put-call parity was designed to identify price discrepancies between markets, it is possible to adapt the formula so it can be used from a strategy perspective. In this case the expression can be written as:
$$
\mathrm{C}-\mathrm{P}=\mathrm{F}
$$
Where $\mathrm{F}$ is redefined as a position in the underlying, in this case a forward position. Each of the symbols in the expression can be annotated with either a ‘ $+$ ‘or a ‘-‘ to indicate either a buying or selling position, respectively. So:
$$
+\mathrm{C}-\mathrm{P}=+\mathrm{F}
$$
That is, buying a call and selling a put is equivalent to a long position in the underlying. Although this may seem a very dry concept, the relationship is frequently used in financial engineering to create innovative structures.

金融代写|衍生品代写Derivatives代考|IE2042

金融代写|衍生品代写Derivatives代考|Bachelier model

Black Scholes Merton (BSM) 和 Black 模型的特征之一是它们假设基础价格呈对数正态分布。从价格的角度来看,这意味着模型不允许价格转为负数。

对于股票、债券和外汇等传统金融资产,这是一个合理的假设;当一家公司破产时,他们的股票将停止交易而不是转为负值。

与以往一样,商品是不同的。电力和天然气价格出现负值(见第 7 章和第 8 章),日历价差交易可以在正值和负值之间翻转。由于航运市场的活跃(例如波罗的海好望角型指数)和 2020 年 4 月原油首次出现(见第 6 章),负价格和指数值的问题在 2020 年更加突出。这对使用诸如 Black 1976 等模型对期货期权进行估值和风险管理提出了质疑。

该模型的替代品是 Bachelier 模型,它可以追溯到大约1900.Bachelier 模型的一些关键特征是:

  • 它假设基础价格遵循正态分布而不是对数正态分布,因此允许负价格的可能性。
  • 波动率表示为货币价值,而不是比例百分比值。例如,假设一项资产以美元的价格交易10.00隐含波动率10%每天。这表明该资产预计将在 9.00-11.00 美元之间的大致价格范围内交易。如果价格跌至美元5.00,但隐含波动率保持不变,则价格的大致范围为+/−50美分。使用同一组价格,Bachelier 模型将波动性表示为美元价值,例如 1.00 美元。所以,在美元10.00价格范围将是相似的。但如果价格跌至美元5.00然后在 Bachelier 框架下,价格范围保持在+/−1.00 美元。以非常低的价格(例如 1.00 美元),但波动性以美元价值表示(例如美元20.00),这意味着该模型暗示了从 -USD 开始的一系列值19.00至 +21.00 美元。
  • 由于该模型允许负价格,使用 Bachelier 模型而不是 BSM 框架,OTM 看跌期权的价值将相对较高。由于溢价反映了 Bachelier 模型所反映的预期支出,这推动价格相对高于 BSM 框架。例如,使用一个简单的 Bachelier 模型,一个 3 个月的看跌期权,行使价为零,基础价格为零,美元波动率为 USD40.00返回 7.98 美元的溢价。1976 年黑色模型返回美元的溢价0.00.

金融代写|衍生品代写Derivatives代考|Put-call parity: the theory

尽管定价模型在标的价格、远期利率和期权溢价之间提供了一种联系,但看跌期权平价的概念是另一种表 示形式。Tompkins (1994) 对这一概念进行了详细分析。
看跌期权平价是一个试图将期权与其标的资产联系起来以便识别套利机会的概念。如果行使价、期限和金 额相同,则看跌期权平价的条件将成立。
尽管看跌期权平价因标的资产而异,但最简单的形式可以用以下表达式表示:
$$
C-P=F-E
$$
在哪里
$\mathrm{C}=$ 看涨期权的价格
$\mathrm{P}=$ 看跌期权的价格
$\mathrm{F}=$ 标的资产的远期价格
$\mathrm{E}=$ 期权的执行价格
严格来说,表达式的右侧需要现值,因为执行价格和远期价格与末来时间段相关,而看涨期权和看跌期权 溢价以现值表示。
尽管看跌期权平价旨在识别市场之间的价格差异,但可以调整公式以便从策略角度使用它。在这种情况 下,表达式可以写成:
$$
\mathrm{C}-\mathrm{P}=\mathrm{F}
$$
在哪里F被重新定义为底层证券中的头寸,在这种情况下为远期头寸。表达式中的每个符号都可以用’+ ‘或’-‘ 分别表示买入或卖出头寸。所以:
$$
+\mathrm{C}-\mathrm{P}=+\mathrm{F}
$$
也就是说,买入看涨期权和卖出看跌期权相当于在底层证券中的多头头寸。尽管这似乎是一个非常枯燥的 概念,但这种关系经常在金融工程中用于创建创新结构。

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