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金融代写|金融风险管理代写Financial Risk Management代考|Methods of Mathematical Programming
Mathematical programming methods are an important group of methods that are used in predicting the risk of corporate bankruptcy. With regard to mathematical programming, the problem of linear programming stands out. The goal of linear programming is to find the optimal value so that all ratios are based on the optimal solution. When creating a model, it is necessary to pay close attention to the accuracy of determining individual limiting conditions. In the practical solution of a given task, it is necessary to proceed from its simplification. The most common algorithm for solving linear programming problems is the simplex method. Mangasarian (1965), Hand (1981) and Nath et al. (1992) were the first to apply linear programming to predict financial health (Dipak and Purnendu, 2007).
One of the methods which fits the issue of mathematical programming, and which we will describe in more detail, is the Data Envelopment Analysis (DEA) method (Horváthová and Mokrišová, 2018). Compared to statistical methods, DEA is a relatively new, non-parametric method, which represents one of many approaches to assessing the financial health of companies and the risk of their bankruptcy. Charnes, Cooper and Rhodes first used this method in 1978. It is based on the idea presented in the paper “Measuring efficiency of decision making units”, published by Farrell in 1957, whose work was based on the work of Debreu (1951) and Koopmans (1951). Farrell (1957) proposed a new approach to measuring efficiency based on a convex efficient frontier and the use of functions to measure the distance between the observed enterprise and the projected point on the efficiency curve. In this way, he proposed a new measure of enterprise efficiency based on the calculation of two components of overall enterprise efficiency: technical and allocative efficiency. Farrell’s approach was based on measuring the ability of the observed company to transform inputs into outputs, and is therefore called input-oriented. Charnes, Cooper, and Rhodes (1978) applied a multiplicative input/output model to measure business efficiency.
The approach of these authors is described as a two-step calculation of efficiency. The first step is to identify the efficiency frontier. If the combination of inputs and outputs of the production unit lies on the frontier, it is efficient and financially healthy production unit. If the production unit is inefficient, it does not lie on the efficiency frontier. This unit need to reduce inputs or increase outputs. In the second step, the efficiency score for the analyzed companies and their distance from the efficiency frontier is calculated. DEA models can be divided into DEA CCR (Charnes, Cooper and Rhodes, 1978) and DEA BCC (Banker, Charnes and Cooper, 1984) in terms of whether each unit of input yields the same amount of output or a variable amount of output. The CCR and BCC models have been proposed in the literature in multiplier or envelopment (dual) form. From a practical point of view it is more appropriate to work with dual form of the models. (Jablonský, Dlouhý, 2015). The CCR and BCC model can be computationally oriented on inputs (input-oriented) or outputs (output-oriented) (Klieštik et al., 2019). Formulas for input-oriented and out-put-oriented dual models are stated in Table 1. Simak (1997) was the first who thought of using the DEA method to predict bankruptcy by comparing its results with the results of Altman’s Z-score. In 2009, Premachandra, Bhabra and Sueyoshi used the additive DEA model and compared its results with the results of logistic regression. The research yielded a satisfactory level of correct prediction of bankruptcy.
金融代写|金融风险管理代写Financial Risk Management代考|Estimation Accuracy of the DEA Model
The estimation accuracy of the DEA model was compared at different cut-offs. Figure 4 shows the estimation accuracy of the DEA model for different cut off values.
It is clear from Figure 4 that the highest estimation accuracy of the DEA model, in the case of bankrupt companies, is already at the cut-off $0.78$ and remains at approximately the same level up to the cut-off $0.5$, and for non-bankrupt companies it is at the cut-off 1 . Based on the fact that bankrupt companies are those with a score of 1 , the estimation accuracy of the CCR DEA model for bankrupt companies is only $14 \%$. It should be pointed out that $14 \%$ of companies are located on financial distress frontier, but it can be assumed that there are more bankrupt companies than the number suggests. Based on this fact, it is necessary to lower the cut-off and find the optimal cut-off at which the highest possible number of bankrupt and non-bankrupt companies will be identified. This optimal limit is at the level of $0.83$, at which the sum of sensitivity and specificity is the highest. This means that if the probability of bankruptcy is equal to or higher than $0.73$, then the company has a high probability of going bankrupt.
The ROC curve was constructed to assess the estimation accuracy of the DEA model (Figure 5). This curve captures the relationship between sensitivity and specificity. The more convex the ROC curve and approaches the upper left corner, the better the discriminative ability of a particular model (Gajowniczek, Zabkowski and Szupiluk, 2014).
The area under the ROC curve (AUC) reaches a value of $0.85$, which can be evaluated positively and it can be stated that the model has a very good estimation accuracy.
If we compare the results of this study with the results of some other authors, the model achieves approximately the same estimation accuracy. Mendelová, Bieliková (2017) achieved $24 \%$ accuracy with the DEA model in the identification of eompanies in financial distress and $96.7 \%$ ateuracy in the classification of financially sound companies. In the case of some authors, the estimation accuracy of the DEA model was higher, in particular Premachandra et al. (2009) achieved $84.89 \%$ accuracy in predicting failing companies, Mendelová and Stachová (2016) 10-42.86\% and Cielen et al. (2004) 74.4-75.7\%.
However, these authors do not indicate a cut-off for the probability of bankruptcy. This low estimation accuracy of the DEA model in the area of bankruptcy prediction is due to the methodology of creating the financial distress frontier. Only a small number of companies fall within this limit – these are the companies that achieve extreme values in the analyzed indicators.
金融代写|金融风险管理代写Financial Risk Management代考|Methods of Mathematical Programming
数学规划方法是用于预测公司破产风险的一组重要方法。关于数学规划，线性规划的问题很突出。线性规划的目标是找到最优值，使所有比率都基于最优解。创建模型时，需要密切注意确定各个限制条件的准确性。在给定任务的实际解决方案中，有必要从其简化出发。求解线性规划问题最常用的算法是单纯形法。Mangasarian (1965)、Hand (1981) 和 Nath 等人。（1992 年）是第一个应用线性规划来预测财务状况的人（Dipak 和 Purnendu，2007 年）。
适合数学规划问题的一种方法是数据包络分析 (DEA) 方法（Horváthová 和 Mokrišová，2018 年），我们将对此进行更详细的描述。与统计方法相比，DEA 是一种相对较新的非参数方法，是评估公司财务状况和破产风险的众多方法之一。Charnes、Cooper 和 Rhodes 于 1978 年首次使用这种方法。它基于 Farrell 于 1957 年发表的论文“测量决策单元的效率”中提出的想法，该论文的工作基于 Debreu (1951) 和考普曼斯 (1951)。Farrell (1957) 提出了一种基于凸有效边界的效率测量新方法，并使用函数来测量观察企业与效率曲线上投影点之间的距离。就这样，他提出了一种新的企业效率衡量方法，它基于对企业整体效率的两个组成部分的计算：技术效率和配置效率。Farrell 的方法基于测量被观察公司将投入转化为产出的能力，因此被称为投入导向。Charnes、Cooper 和 Rhodes (1978) 应用乘法输入/输出模型来衡量业务效率。技术和配置效率。Farrell 的方法基于测量被观察公司将投入转化为产出的能力，因此被称为投入导向。Charnes、Cooper 和 Rhodes (1978) 应用乘法输入/输出模型来衡量业务效率。技术和配置效率。Farrell 的方法基于测量被观察公司将投入转化为产出的能力，因此被称为投入导向。Charnes、Cooper 和 Rhodes (1978) 应用乘法输入/输出模型来衡量业务效率。
这些作者的方法被描述为效率的两步计算。第一步是确定效率边界。如果生产单位的投入和产出组合处于前沿，则它是高效且财务健康的生产单位。如果生产单位是低效率的，它就不会位于效率边界上。这个单位需要减少投入或增加产出。第二步，计算被分析公司的效率得分及其与效率前沿的距离。DEA模型根据每单位输入产生的输出量是相同的还是可变的，可以分为DEA CCR（Charnes, Cooper and Rhodes, 1978）和DEA BCC（Banker, Charnes and Cooper, 1984）。CCR 和 BCC 模型已在文献中以乘数或包络（双）形式提出。从实际的角度来看，使用对偶形式的模型更合适。(Jablonský, Dlouhý, 2015)。CCR 和 BCC 模型可以在输入（面向输入）或输出（面向输出）上以计算为导向（Klieštik 等人，2019）。投入导向和产出导向对偶模型的公式如表 1 所示。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 值结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。从实际的角度来看，使用对偶形式的模型更合适。(Jablonský, Dlouhý, 2015)。CCR 和 BCC 模型可以在输入（面向输入）或输出（面向输出）上以计算为导向（Klieštik 等人，2019）。投入导向和产出导向对偶模型的公式如表 1 所示。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 值结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。从实际的角度来看，使用对偶形式的模型更合适。(Jablonský, Dlouhý, 2015)。CCR 和 BCC 模型可以在输入（面向输入）或输出（面向输出）上以计算为导向（Klieštik 等人，2019）。投入导向和产出导向对偶模型的公式如表 1 所示。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 值结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。CCR 和 BCC 模型可以在输入（面向输入）或输出（面向输出）上以计算为导向（Klieštik 等人，2019）。投入导向和产出导向对偶模型的公式如表 1 所示。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 值结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。CCR 和 BCC 模型可以在输入（面向输入）或输出（面向输出）上以计算为导向（Klieštik 等人，2019）。投入导向和产出导向对偶模型的公式如表 1 所示。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 值结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 分数结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。Simak (1997) 是第一个想到使用 DEA 方法通过将其结果与 Altman 的 Z 分数结果进行比较来预测破产的人。2009 年，Premachandra、Bhabra 和 Sueyoshi 使用了加性 DEA 模型，并将其结果与逻辑回归的结果进行了比较。研究得出了令人满意的破产正确预测水平。
金融代写|金融风险管理代写Financial Risk Management代考|Estimation Accuracy of the DEA Model
在不同的截止值下比较了 DEA 模型的估计精度。图 4 显示了 DEA 模型对不同截止值的估计精度。
从图 4 可以清楚地看出，在破产公司的情况下，DEA 模型的最高估计精度已经处于临界点0.78并保持在大致相同的水平直到截止0.5，对于非破产公司来说，它是截止日期 1 。基于破产公司是得分为 1 的公司，CCR DEA 模型对破产公司的估计准确度仅为14%. 需要指出的是14%的公司位于财务困境前沿，但可以假设破产公司的数量比数字所暗示的要多。基于这一事实，有必要降低分界线，并找到最佳分界线，在该分界线中，可以识别出最多可能的破产和非破产公司。这个最佳极限是在水平0.83，此时敏感性和特异性之和最高。这意味着如果破产概率等于或高于0.73，那么公司破产的可能性很大。
构建 ROC 曲线以评估 DEA 模型的估计精度（图 5）。该曲线反映了敏感性和特异性之间的关系。ROC 曲线越凸并越靠近左上角，特定模型的判别能力就越好（Gajowniczek、Zabkowski 和 Szupiluk，2014 年）。
ROC曲线下面积（AUC）达到0.85，可以正面评价，可以说该模型具有很好的估计精度。
如果我们将本研究的结果与其他一些作者的结果进行比较，该模型达到了大致相同的估计精度。Mendelová, Bieliková (2017) 实现24%DEA 模型在识别陷入财务困境的公司方面的准确性和96.7%财务状况良好的公司分类不严谨。在一些作者的情况下，DEA 模型的估计精度更高，特别是 Premachandra 等人。(2009) 实现84.89%预测失败公司的准确性，Mendelová 和 Stachová (2016) 10-42.86\% 和 Cielen 等人。(2004) 74.4-75.7\%。
然而，这些作者并没有指出破产概率的截止值。DEA 模型在破产预测领域的这种低估计精度是由于创建财务困境边界的方法。只有少数公司处于此限制范围内——这些公司在分析指标中达到了极值。
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