# 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|MATH1231

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Complex Numbers

Let $w=u+i v$ and $z=x+i y$ where $u, v, x, y \in \mathbb{R}, i=\sqrt{-1}$ and $i^{2}=-1$ then
$$\begin{gathered} w \pm z=(u \pm x)+(v \pm y) i, \quad w z=(u x-v y)+(v x+u y) i, \ \frac{w}{z}=\left(\frac{u x+v y}{x^{2}+y^{2}}\right)+\left(\frac{v x-u y}{x^{2}+y^{2}}\right) i \ \bar{z}=x-i y, \quad \bar{z}=z, \quad \overline{w+z}=\bar{w}+\bar{z}, \quad \overline{w z}=\bar{w} \cdot \bar{z}, \quad \overline{\left(\frac{w}{z}\right)}=\frac{\bar{w}}{\bar{z}} . \end{gathered}$$
De Moivre’s Formula: Let $z=x+i y$ where $x, y \in \mathbb{R}$ and we can write
$$z=r(\cos \theta+i \sin \theta), \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) .$$
For $n \in \mathbb{Z}$
$$[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^{n}=r^{n}[\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)] .$$
Euler’s Formula: For $\theta \in \mathbb{R}$
$$e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta .$$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Definite Integrals

If $F(x)$ is a differentiable function and $f(x)$ is its derivative and is continuous on a close interval $[a, b]$, then
$$\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)$$
where $F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} F(x)=f(x)$.
If $f(x)$ and $g(x)$ are integrable functions then
$$\begin{gathered} \int_{a}^{a} f(x) d x=0, \quad \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x \ \int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)] d x=\alpha \int_{a}^{b} f(x) d x+\beta \int_{a}^{b} g(x) d x, \quad \alpha, \beta \text { are constants } \ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x, \quad c \in[a, b] \end{gathered}$$

If $f(t)$ is a continuous function of $t$ and $a(x)$ and $b(x)$ are continuous functions of $x$
$$\begin{gathered} \frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t=f(b(x)) \frac{d}{d x} b(x)-f(a(x)) \frac{d}{d x} a(x) \ \frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} d t=\frac{d}{d x} b(x)-\frac{d}{d x} a(x) \end{gathered}$$
If $g(x, t)$ is a differentiable function of two variables then
$$\frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x, t) d t=g(x, b(x)) \frac{d}{d x} b(x)-g(x, a(x)) \frac{d}{d x} a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial g(x, t)}{\partial x} d t$$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Complex Numbers

$$w \pm z=(u \pm x)+(v \pm y) i, \quad w z=(u x-v y)+(v x+u y) i, \frac{w}{z}=\left(\frac{u x+v y}{x^{2}+y^{2}}\right)+\left(\frac{v x-u y}{x^{2}+y^{2}}\right) i \bar{z}$$
De Moivre 公式: 让 $z=x+i y$ 在哪里 $x, y \in \mathbb{R}$ 我们可以写
$$z=r(\cos \theta+i \sin \theta), \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) .$$

$$[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^{n}=r^{n}[\cos (n \theta)+i \sin (n \theta)] .$$

$$e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$$

## 金融代写|金融微积分代写Finance Calculus代考|Definite Integrals

$$\int_{a}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a)$$

$$\int_{a}^{a} f(x) d x=0, \quad \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x \int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)] d x=\alpha \int_{a}^{b} f(x) d x+\beta \int_{a}^{b} g(x) d x,$$

$$\frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) d t=f(b(x)) \frac{d}{d x} b(x)-f(a(x)) \frac{d}{d x} a(x) \frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} d t=\frac{d}{d x} b(x)-\frac{d}{d x} a(x)$$

$$\frac{d}{d x} \int_{a(x)}^{b(x)} g(x, t) d t=g(x, b(x)) \frac{d}{d x} b(x)-g(x, a(x)) \frac{d}{d x} a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial g(x, t)}{\partial x} d t$$

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