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电子工程代写|并行计算代写Parallel Computing代考|Round-Off Error Analysis
With a formal system at hand, we can analyse longer calculations. This analysis describes how a computer realises a particular source code. Our activity consists of two steps: We first write down the calculation as done on the machine and replace all arithmetic operations by their machine counterpart. In a second step, we use the rules from (6.1) and thereafter to map the machine calculations onto “real” mathematical operators including error thresholds. The first step is purely mechanical. The second step requires us to think about potential variable content.
I demonstrate this agenda via the summation of three variables. Technically, each compute step would require us to work with an $\epsilon$ of its own:
$$
\begin{aligned}
x+M y+M z &=(x+y)\left(1+\epsilon_{1}\right)+M z \
&=\left((x+y)\left(1+\epsilon_{1}\right)+z\right)\left(1+\epsilon_{2}\right) \
&=(x+y)+(x+y) \epsilon_{1}+(x+y) \epsilon_{2}+(x+y) \epsilon_{1} \epsilon_{2}+z+z \epsilon_{2}
\end{aligned}
$$
For each calculation, we have another error. As discussed before, we use a pessimistic upper bound and hence use a generic $\epsilon$ as worst case, i.e. we set $\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=\epsilon$. Furthermore, we eliminate higher order terms and end up with
$$
\begin{aligned}
x++{M} y++{M} z &=((x+y)(1+\epsilon)+z)(1+\epsilon) \
&=(x+y+z+x \epsilon+y \epsilon)(1+\epsilon) \
&=x+y+z+x \epsilon+y \epsilon+x \epsilon+y \epsilon+z \epsilon+x \epsilon^{2}+y \epsilon^{2} \
&=x+y+z+x \epsilon+y \epsilon+x \epsilon+y \epsilon+z \epsilon \
&=x(1+2 \epsilon)+y(1+2 \epsilon)+z(1+\epsilon) .
\end{aligned}
$$
We reiterate that this is not a precise formula in a mathematical sense: Per term, the $\epsilon$ accepts the role of a bad guy and switches sign and magnitude just as appropriate. The equals sign also is really a $\approx$ as we drop the higher order terms. All of this has been known before.
电子工程代写|并行计算代写Parallel Computing代考|Associativity and worst-case analysis
Both the worst-case character of our analysis and the lack of associativity become apparent from a simple example: Let a machine work with a significand of two bits (the leading 1 is not stored). We compute the aforementioned $f=x+y+z$ for $x=0.875, y=-0.75$ and $z=0.1875$. If we evaluate the formula left to right and normalise the data after each step, we obtain a result of $f=0.3125$. This is exact. If we however evaluate the second addition first, we obtain $f=0.375$.
For a machine, the second result is not wrong. It just suffers from an amplification of the individual round-off errors. Indeed, $2 x+2 y+z=0.4375<1$ is the “amplification” term of the left-to-right evaluation. Our machine errors are not amplified. For the second variant, we obtain $2 y+2 z+x=1.125+0.875>1$. Here, round-off errors are amplified.
On a machine, it makes a difference in which order we evaluate the individual terms. Although our round-off formalism yields worst-case estimates, it does give us some hints what we should do in practice: It tells us that some operations are potentially more harmful than others. Multiplying a number by two for example is safe-see our previous discussion on Sect. 4.2.1. Dividing by three might be tricky.
Now, we can dive into the details of our calculation. From the intermediate step (6.2), we see that the error introduced by the first calculation is eventually increased by the next operation.
电子工程代写|并行计算代写Parallel Computing代考|Round-Off Error Analysis
有了手头的正式系统，我们可以分析更长的计算。该分析描述了计算机如何实现特定的源代码。我们的活 动包括两个步骤: 我们首先写下在机器上完成的计算，然后用它们的机器对应物替换所有算术运算。在第 二步中，我们使用 (6.1) 中的规则，然后将机器计算映射到“真实”数学运算符，包括错误阈值。第一步是纯 机械的。第二步需要我们考虑潜在的可变内容。
我通过三个变量的总和来展示这个议程。从技术上讲，每个计算步骤都需要我们使用 $\epsilon$ 它自己的:
$$
x+M y+M z=(x+y)\left(1+\epsilon_{1}\right)+M z \quad=\left((x+y)\left(1+\epsilon_{1}\right)+z\right)\left(1+\epsilon_{2}\right)=(x+y)+(x+y) \epsilon_{1}
$$
对于每个计算，我们都有另一个错误。如前所述，我们使用悲观上限，因此使用泛型 $\epsilon$ 作为最坏的情况， 即我们设置 $\epsilon_{1}=\epsilon_{2}=\epsilon$. 此外，我们消除了高阶项并最終得到
$$
x++M y++M z=((x+y)(1+\epsilon)+z)(1+\epsilon) \quad=(x+y+z+x \epsilon+y \epsilon)(1+\epsilon)=x+y+z+
$$
我们重申，这不是数学意义上的精确公式: 每项， $\epsilon$ 接受坏人的角色，并根据需要切换符号和大小。等号 也确实是一个 $\approx$ 因为我们放弃了高阶项。所有这些都是以前已知的。
电子工程代写|并行计算代写Parallel Computing代考|Associativity and worst-case analysis
从一个简单的例子可以看出我们分析的最坏情况特征和缺乏关联性：让机器使用两位有效数 (不存储前导 1)。我们计算上述 $f=x+y+z$ 为了 $x=0.875, y=-0.75$ 和 $z=0.1875$. 如果我们从左到右评估公 式并在每一步之后对数据进行归一化，我们得到的结果为 $f=0.3125$. 这是准确的。然而，如果我们首先 评估第二个加法，我们得到 $f=0.375$.
对于一台机器来说，第二个结果没有错。它只是受到单个舍入误差的放大的影响。的确， $2 x+2 y+z=0.4375<1$ 是从左到右评估的“放大“项。我们的机器错误没有被放大。对于第二个变 体，我们得到 $2 y+2 z+x=1.125+0.875>1$. 在这里，舍入误差被放大。
在机器上，我们评估各个术语的顺序会有所不同。尽管我们的四舍五入形式会产生最坏情况的估计，但它 确实给了我们一些在实践中应该做什么的提示：它告诉我们某些操作可能比其他操作更有害。例如，将一 个数字乘以 2 是安全的一一参见我们之前关于 Sect 的讨论。4.2.1。除以三可能很嗽手。
现在，我们可以深入了解计算的细节。从中间步裏（6.2) 中，我们看到第一次计算引入的误差最终会被下一次操作增加。
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