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电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|The Sample Mean

The sample mean $\bar{x}$ of a sample with $n$ elements is defined as
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}
$$
Alternatively, given a sample in tabular form, we can sum over the different possible values of $x$ :
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{x} n(x) x
$$
Adopting a frequentist approach to probability, where $P(x)$, the probability of a value $x$, is defined as the limiting value of $n(x) / n$, we see that
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \bar{x}=\lim {n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{x} n(x) x=\sum_{x} x P(x)=\mu
$$
This shows that as the sample size becomes very large, its mean is the expected value of a data item, which is the strong law of large numbers described in Section 1.7.4.

The sample mean $\bar{x}$ is a random variable whose value depends on the values taken on by the elements in the sample. It turns out that the expected value of this random variable, that is, $E(\bar{x})$, is also $\mu$. (This is not the same as the limiting value of the sample mean.) To see this, we start with the definition of the sample mean: $\bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)$, so that $n \bar{x}=\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)$. Taking expectations of both sides gives us
$$
E(n \bar{x})=E\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)
$$
From the sum rule of expectations, we can rewrite this as
$$
E(n \bar{x})=E\left(x_{1}\right)+E\left(x_{2}\right)+\ldots+E\left(x_{n}\right)=n \mu
$$
Therefore,
$$
E(\bar{x})=E\left(\frac{n \bar{x}}{n}\right)=\frac{E(n \bar{x})}{n}=\mu
$$
as stated.

电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|The Sample Median

The median value of a sample is the value such that $50 \%$ of the elements are larger than this value. For a sample with an odd number of elements, it is the middle element after sorting. For a sample with an even number of elements, it is the mean of the two middle elements after sorting.

For samples that contain outliers, the median is a better representative than the mean because it is relatively insensitive to outliers. The median is also an unbiased estimator of the population mean. However, it can be shown that if the underlying distribution is normal, the asymptotic variance of the median of a sample is $1.57$ times larger than the asymptotic variance of the sample mean. Hence, if the underlying distribution is normal, the same accuracy in estimating the population parameter can be obtained by collecting 100 observations and computing their mean or by collecting 157 samples and computing their median. However, if the underlying distribution is unimodal and sharper-peaked than normal (also called leptokurtic), the median is a more efficient estimator than the mean because, in such situations, the variance of the mean is higher than the variance of the median due to the presence of outliers.

Unlike the mean or the median, which seek to represent the central tendency of a sample, we now consider ways of representing the degree to which the elements in a sample differ from each other. These are also called measures of variability.

The simplest measure of variability is the range, which is the difference between the largest and smallest elements. The range is susceptible to outliers and therefore not reliable. A better measure is to sort the data values and then determine the data values that lie at $q \%$ and $1-q \%$. The difference between the two values is the range of values in which the central $1-2 q \%$ of the sample lies. This conveys nearly the same information as the range but with less sensitivity to outliers. A typical value of $q$ is 25 , in which case this measure is also called the interquartile range. In the context of delay bounds and service-level agreements, a typical value of $q$ is 5 (so that the span is $5 \%-95 \%$ ).

电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|ECE3020

电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|The Sample Mean

样本均值 $\bar{x}$ 一个样本的 $n$ 元素定义为
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=\frac{1}{n} \sum_{i} x_{i}
$$
或者,给定一个表格形式的样本,我们可以对不同的可能值求和 $x$ :
$$
\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{x} n(x) x
$$
对概率采用频率论方法,其中 $P(x)$ ,一个值的概率 $x$ ,被定义为的极限值 $n(x) / n$ ,我们看到
$$
\lim n \rightarrow \infty \bar{x}=\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \sum_{x} n(x) x=\sum_{x} x P(x)=\mu
$$
这表明随着样本量变得非常大,它的均值是一个数据项的期望值,这就是 1.7.4 节中描述的大数的强定律。
样本均值 $\bar{x}$ 是一个随机变量,其值取决于样本中元素的取值。事实证明,这个随机变量的期望值,即 $E(\bar{x})$
也是 $\mu$. (这与样本均值的极限值不同。) 要了解这一点,我们从样本均值的定义开始: $\bar{x}=\frac{1}{n}\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)$ ,以便 $n \bar{x}=\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)$. 接受双方的期望给了我们
$$
E(n \bar{x})=E\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right)
$$
根据期望的总和规则,我们可以将其重写为
$$
E(n \bar{x})=E\left(x_{1}\right)+E\left(x_{2}\right)+\ldots+E\left(x_{n}\right)=n \mu
$$
所以,
$$
E(\bar{x})=E\left(\frac{n \bar{x}}{n}\right)=\frac{E(n \bar{x})}{n}=\mu
$$
就像声明的那样。

电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考|The Sample Median

样本的中值是这样的值50%的元素大于此值。对于元素个数为奇数的样本,排序后为中间元素。对于元素个数为偶数的样本,它是排序后中间两个元素的均值。

对于包含异常值的样本,中位数比均值更具代表性,因为它对异常值相对不敏感。中位数也是总体均值的无偏估计。但是,可以证明,如果基础分布是正态分布,则样本中位数的渐近方差为1.57比样本均值的渐近方差大几倍。因此,如果基础分布是正态分布,则可以通过收集 100 个观测值并计算它们的平均值或通过收集 157 个样本并计算它们的中值来获得估计总体参数的相同精度。但是,如果基础分布是单峰分布并且比正态分布更尖峰(也称为尖峰),则中位数是比均值更有效的估计量,因为在这种情况下,均值的方差高于中位数的方差到异常值的存在。

与试图表示样本集中趋势的平均值或中位数不同,我们现在考虑表示样本中元素彼此不同程度的方法。这些也称为变异性度量。

最简单的可变性度量是范围,它是最大元素和最小元素之间的差异。该范围容易受到异常值的影响,因此不可靠。更好的措施是对数据值进行排序,然后确定位于q%和1−q%. 这两个值之间的差异是中心值的范围1−2q%样本的谎言。这传达了与范围几乎相同的信息,但对异常值的敏感性较低。的典型值q是 25 ,在这种情况下,此度量也称为四分位距。在延迟界限和服务级别协议的上下文中,典型值为q为 5(因此跨度为5%−95% ).

电子工程代写|计算数学基础代写Mathematical Foundations of Computing代考

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