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电子工程代写|超大规模集成电路系统代写Introduction to VLSI Systems代考|The I-V Characteristics of MOS Transistors
In the previous subsection, we have given a qualitative description of nMOS transistors. In this subsection, we explore the current versus voltage characteristics of MOS transistors.
To derive the current versus voltage characteristics of an nMOS transistor shown in Figure 2.16(a), the gradual-channel approximation (GCA) model is widely used. In this model, the following two assumptions are made.
- The vertical electric field $E_{y}(y)$ built by $V_{G S}$ totally supports the depletion charge and the inversion layer. Here, we suppose that $V_{G S} \geq V_{T n}$ and $V_{G D}=V_{G S}-$ $V_{D S} \geq V_{T n}$.
- The channel electric field $E_{x}(y)$ is established by the drain-to-source voltage $V_{D S}$. As a result, the channel current is only caused by the drift current due to electrons in the channel. The electron mobility $\mu_{n}$ is assumed to be constant. The boundary conditions are $V(y=0)=V_{S}=0 \mathrm{~V}$ and $V\left(y=L_{n}\right)=V_{D S}$.
Recall that an nMOS transistor is in the cut-off mode when its gate-to-source voltage $V_{G S}$ is smaller than threshold voltage $V_{T n}$. An nMOS transistor is in the linear mode when its gate-to-source voltage $V_{G S}$ is larger than threshold voltage $V_{T n}$ but the drain-to-source voltage $V_{D S}$ is a small positive voltage. In this mode, the drain current $I_{D S}$ significantly increases with the increasing drain-to-source voltage $V_{D S}$.
To quantitatively describe the drain current as a function of gate-to-source voltage and drain-to-source voltage in the linear mode, we use the $\mathrm{GCA}$ model to quantify the drain current under the strong inversion condition. According to the definition of current
$$
I=\frac{d Q}{d t}
$$
The drain current can be described as follows.
电子工程代写|超大规模集成电路系统代写Introduction to VLSI Systems代考|Channel-Length Modulation
We have supposed that the drain current $I_{D S}$ is constant when the drain-to-source voltage $V_{D S}$ reaches its saturation value $V_{D S s a t}$ and thereafter. However, the drain current $I_{D S}$ of actual devices is still slowly increased with the increasing drain-to-source voltage $V_{D S}$ after $V_{D S} \geq V_{D S s a t}$.
Referring to Figure 2.20, the depletion region at the drain end extends laterally into the channel when the MOS transistor is biased in the saturation mode, thereby reducing the effective channel length by an amount of $\Delta L$. This results in the increase of drain current $I_{D S}$ in accordance with the drain current equation. The phenomenon that the drain current is affected by the drain-to-source voltage $V_{D S}$ in the saturation region is referred to as the channel-length modulation because the effective channel length is modulated (changed) by the drain-to-source voltage.
To further quantify the amount of the increase of drain current $I_{D S}$ by the reduced channel length, we note that the reduced channel length $\Delta L$ can be related to $\Delta V_{D S}$, where $\Delta V_{D S}=V_{D S}-V_{D S s a t}$, by the following equation.
$$
\Delta L=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s i}}{e N_{a}}}\left(\sqrt{\left|\phi_{f p}\right|+V_{D S s a t}+\Delta V_{D S}}-\sqrt{\left|\phi_{f p}\right|+V_{D S s a t}}\right)
$$
However, the above equation will make the current equation much more complicated. So in practice the following empirical relation is used instead.
$$
I_{D}^{\prime}=\left(\frac{L}{I_{s}-\Delta I_{s}}\right) I_{D S}=\frac{1}{1-\lambda V_{D S}} I_{D S}
$$
The resulting current equation taking into account the channel-length modulation is as follows.
$$
I_{D S}=\frac{\mu_{n} C_{o x}}{2}\left(\frac{W_{n}}{L_{n}}\right)\left(V_{G S}-V_{T 0 n}\right)^{2}\left(1+\lambda V_{D S}\right)
$$
where $\lambda$ is called the channel-length modulation coefficient, having a value in the range of $0.005 \mathrm{~V}^{-1}$ to $0.05 \mathrm{~V}^{-1}$
电子工程代写|超大规模集成电路系统代写Introduction to VLSI Systems代考|The I-V Characteristics of MOS Transistors
在上一小节中，我们已经对 nMOS 晶体管进行了定性描述。在本小节中，我们将探讨 MOS 晶体管的电流 与电压特性。
为了推导出图 2.16(a) 所示的 nMOS 晶体管的电流与电压特性，广泛使用渐进通道逼近 (GCA) 模型。在这 个模型中，做了以下两个假设。
- 垂直电场 $E_{y}(y)$ 由建造 $V{G S}$ 完全支持耗尽电荷和反转层。在这里，我们假设 $V_{G S} \geq V_{T n}$ 和 $V_{G D}=V_{G S}-V_{D S} \geq V_{T n}$.
- 通道电场 $E_{x}(y)$ 由漏源电压建立 $V_{D S}$. 结果，沟道电流仅由沟道中的电子引起的漂移电流引起。电子迁 移率 $\mu_{n}$ 假定为常数。边界条件是 $V(y=0)=V_{S}=0 \mathrm{~V}$ 和 $V\left(y=L_{n}\right)=V_{D S}$.
回想一下，当 $\mathrm{nMOS}$ 晶体管的棚源电压处于截止模式时 $V_{G S}$ 小于阈值电压 $V_{T n}$. 一个 $\mathrm{nMOS}$ 晶体管在其栅 源电压时处于线性模式 $V_{G S}$ 大于阈值电压 $V_{T n}$ 但漏源电压 $V_{D S}$ 是一个小的正电压。在这种模式下，漏极电 流 $I_{D S}$ 随看漏源电压的增加显看增加 $V_{D S}$.
为了在线性模式下将漏极电流定量描述为栅源电压和漏源电压的函数，我们使用GCA模型来量化强反转条 件下的漏极电流。根据电流的定义
$$
I=\frac{d Q}{d t}
$$
漏极电流可以描述如下。
电子工程代写|超大规模集成电路系统代写Introduction to VLSI Systems代考|Channel-Length Modulation
我们假设漏极电流 $I_{D S}$ 是恒定的，当漏源电压 $V_{D S}$ 达到饱和值 $V_{D S s a t}$ 之后。然而，漏极电流 $I_{D S}$ 随着漏源 电压的增加，实际器件的数量仍然缓慢增加 $V_{D S}$ 后 $V_{D S} \geq V_{D S s a t}$.
参考图 2.20，当 MOS 晶体管在饱和模式下偏置时，漏极端的耗尽区横向延伸到沟道中，从而将有效沟道 长度减少了 $\Delta L$. 这导致漏极电流增加 $I_{D S}$ 根据漏极电流方程。漏极电流受漏源电压影响的现象 $V_{D S}$ 饱和区 中的通道长度被称为通道长庻调制，因为有效通道长度由㴜源电压调制（改变)。
进一步量化漏极电流的增加量 $I_{D S}$ 通过减小通道长度，我们注意到减小的通道长度 $\Delta L$ 可能与 $\Delta V_{D S}$ ，在 哪里 $\Delta V_{D S}=V_{D S}-V_{D S s a t ｝ \text { ，通过以下等式。 }$
$$
\Delta L=\sqrt{\frac{2 \varepsilon_{s i}}{e N_{a}}}\left(\sqrt{\left|\phi_{f p}\right|+V_{D S s a t}+\Delta V_{D S}}-\sqrt{\left|\phi_{f p}\right|+V_{D S s a t}}\right)
$$
然而，上述等式将使当前的等式变得更加复杂。所以在实践中使用以下经验关系代替。
$$
I_{D}^{\prime}=\left(\frac{L}{I_{s}-\Delta I_{s}}\right) I_{D S}=\frac{1}{1-\lambda V_{D S}} I_{D S}
$$
考虑到通道长度调制的所得电流方程如下。
$$
I_{D S}=\frac{\mu_{n} C_{o x}}{2}\left(\frac{W_{n}}{L_{n}}\right)\left(V_{G S}-V_{T 0 n}\right)^{2}\left(1+\lambda V_{D S}\right)
$$
在哪里 $\lambda$ 称为通道长度调制系数，取值范围为 $0.005 \mathrm{~V}^{-1}$ 至 $0.05 \mathrm{~V}^{-1}$
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