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电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考|Distortionless LTI Systems

Let us take sinusoidal radiated wave at frequency $\omega$ being received at a distance $d$ from the transmitter. The electric field function between the two transmitting and receiving ends will be of the form
$$
E_{T}=(A / z) \sin (\omega t-\beta z)
$$

where $A$ is a constant, $\beta=2 \pi / \lambda$ and $z$ is the direction of propagation. The $A / z$ term says that the field decays as $1 / z$ as the wave moves away from the transmitting station, while the argument $\omega t-\beta z$ ensures that the wave is a travelling wave.
On receiving the signal, at the receiving end, the electric field (and therefore the voltage received) is of the form
$$
E_{R}=B \sin (\omega t-\theta)
$$
where $B=A / d$ and $\theta=\beta d$. We notice that the amplitude is not a function of frequency but let us examine the nature of $\theta$ (let $f$ be the frequency in Hertz):
$$
\begin{aligned}
\theta &=\beta d \
&=(2 \pi / \lambda) d \
&=(2 \pi f / c) d \quad(c \text { is the velocity of the wave; } c=f \lambda) \
&=(\omega / c) d \
&=\omega(d / c) \
&=\omega t_{0} \quad\left(\text { where } t_{0}=d / c\right)
\end{aligned}
$$
And we know that the wave is undistorted. So what are the conditions of distortionless transmission?

  1. The amplitude of the wave is not a function of frequency. In this case, it is $A / d$.
  2. The phase of the wave is a linear function of frequency. In this case, it is $\omega(d / c)$.
    These results are shown in Fig. 2.40. The figure shows the amplitude and phase characteristics of the signal with frequency $\omega$. In fact, this is the FT of the impulse response of the ideal distortionless channel. If we compare with Fig. 2.31, then we find that both figures are identical and that Fig. 2.40 represents the Fourier transform of
    $$
    B \delta\left(t-t_{0}\right)
    $$

电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考|Signal Distortion

As signals pass through non-ideal linear systems or channels, we can model them through their impulse responses or equivalently their frequency responses. The two of them are related by
$$
h(t) \Leftrightarrow H(\omega)
$$
where $h(t)$ is the impulse response and $H(\omega)$ is the frequency response of the system or channel.
If we observe the output of such a system, then
$$
y(t)=h(t) * x(t)
$$
or
$$
Y(\omega)=H(\omega) X(\omega)
$$
which implies that since $X(\omega)$ is multiplied by $H(\omega)$, the magnitude of and phase of $Y$ is changed from that of $X$ by multiplication of the factor $H(\omega)$. That is
$$
|Y(\omega)|=|H(\omega)||X(\omega)|
$$
We can see from this equation, (2.162), that the system introduces no distortion of the magnitude spectrum if only
$$
|H(\omega)|=k, \quad \text { a constant }
$$
Similarly, from Eq. (2.161), we can see that
$$
\angle Y(\omega)=\angle H(\omega)+\angle X(\omega)
$$
so the output phase too suffers a distortion. From our earlier discussion, it is clear that the phase of the output signal is not distorted if the phase
$$
\angle H(\omega)=-k \omega, \quad k, \text { a constant }
$$
In short, every system introduces some sort of distortion in the signal, and the question is whether the distortion is acceptable or unacceptable.

电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考|CSE241

电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考|Distortionless LTI Systems

让我们在频率处取正弦辐射波 $\omega$ 被远距离接收 $d$ 从发射器。两个发射端和接收端之间的电场函数为
$$
E_{T}=(A / z) \sin (\omega t-\beta z)
$$
在哪里 $A$ 是一个常数, $\beta=2 \pi / \lambda$ 和 $z$ 是传播方向。这 $A / z$ 术语表示场衰减为 $1 / z$ 随看波远离发射站,而论 点 $\omega t-\beta z$ 确保波是行波。
在接收信号时,在接收端,电场(以及因此接收到的电压) 的形式为
$$
E_{R}=B \sin (\omega t-\theta)
$$
在哪里 $B=A / d$ 和 $\theta=\beta d$. 我们注意到幅度不是频率的函数,但让我们检查一下 $\theta$ (让 $f$ 是以赫兹为单位的 频率) :
$$
\theta=\beta d \quad=(2 \pi / \lambda) d=(2 \pi f / c) d \quad(c \text { is the velocity of the wave; } c=f \lambda) \quad=(\omega / c) d=\omega(d / c)
$$
我们知道波浪是不失真的。那么无失真传输的条件是什么?

  1. 波的幅度不是频率的函数。在这种情况下,它是 $A / d$.
  2. 波的相位是频率的线性函数。在这种情况下,它是 $\omega(d / c)$.
    这些结果如图 $2.40$ 所示。该图显示了信号随频率变化的幅值和相位特性 $\omega$. 实际上,这就是理想无失真 里叶变换
    $$
    B \delta\left(t-t_{0}\right)
    $$

电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考|Signal Distortion

当信号通过非理想线性系统或通道时,我们可以通过它们的脉冲响应或等效的频率响应对它们进行建模。 他们两个有关系
$$
h(t) \Leftrightarrow H(\omega)
$$
在哪里 $h(t)$ 是脉冲响应和 $H(\omega)$ 是系统或通道的频率响应。 如果我们观察这样一个系统的输出,那么
$$
y(t)=h(t) * x(t)
$$
或者
$$
Y(\omega)=H(\omega) X(\omega)
$$
这意味着由于 $X(\omega)$ 乘以 $H(\omega)$ ,的幅度和相位 $Y$ 从那个改变 $X$ 乘以因子 $H(\omega)$. 那是
$$
|Y(\omega)|=|H(\omega)||X(\omega)|
$$
我们可以从这个方程 (2.162) 中看出,系统不会引入幅度谱的失真,只要
$$
|H(\omega)|=k, \quad \text { a constant }
$$
同样,从方程式。(2.161),我们可以看到
$$
\angle Y(\omega)=\angle H(\omega)+\angle X(\omega)
$$
所以输出相位也有失真。从我们之前的讨论中,很明显,如果相位不失真,则输出信号的相位不会失真
$$
\angle H(\omega)=-k \omega, \quad k, \text { a constant }
$$
简而言之,每个系统都会在信号中引入某种失真,问题是失真是可接受的还是不可接受的。

电子工程代写|电子系统工程代写Digital Systems Engineering代考

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