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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Structure of the energy space
We address now the question about the structure of the energy space $\mathcal{H}$. We first show that $\mathcal{H}$ contains the linear subspace spanned by characteristic functions of sets of finite measure. In the next statement we also give two formulas for computation of the norm of $\chi_{A}$ and the inner product of characteristic functions in terms of the measure $\rho$.
Lemma 6.18. Suppose $c(x)$ is locally integrable with respect to $\mu$. Then
$$
\mathcal{D}{\text {fin }} \subset \mathcal{H} . $$ Moreover, if $A \in \mathcal{B}{\text {fin }}$, then
$$
\left|\chi_{A}\right|_{\mathcal{H}{E}}^{2} \leq \int{A} c(x) d \mu(x),
$$
and
$$
\left|\chi_{A}\right|_{\mathcal{H}{E}}^{2}=\rho\left(A \times A^{c}\right) $$ where $A^{c}:=V \backslash A$. More generally, one has $$ \begin{aligned} \left\langle\chi{A}, \chi_{B}\right\rangle_{\mathcal{H}{E}} &=\rho((A \cap B) \times V)-\rho(A \times B) \ &=\nu(A \cap B)-\rho(A \times B) \end{aligned} $$ and $$ \chi{A} \perp \chi_{B} \Longleftrightarrow \rho((A \backslash B) \times B)=\rho\left((A \cap B) \times B^{c}\right) .
$$
Proof. We use (6.5) and compute for $A \in \mathcal{B}{\text {fin }}$ $$ \begin{aligned} \left|\chi{A}\right|_{\mathcal{H}{E}}^{2}=& \frac{1}{2} \int{V \times V}\left(\chi_{A}(x)-\chi_{A}(y)\right)^{2} d \rho(x, y) \
=& \frac{1}{2} \int_{V \times V}\left(2 \chi_{A}(x)-2 \chi_{A}(x) \chi_{A}(y)\right) d \rho(x, y) \
=& \int_{V} \int_{V} \chi_{A}(x) d \rho_{x}(y) d \mu(x) \
&-\int_{V} \int_{V} \chi_{A}(x) \chi_{A}(y) d \rho_{x}(y) d \mu(x) \
=& \int_{A} c(x) d \mu(x)-\int_{A} \rho_{x}(A) d \mu(x) \
\leq & \int_{A} c(x) d \mu(x)
\end{aligned}
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Spectral theory for graph Laplacians in L2
We will use here the notation introduced in the previous sections. In the next statement, we consider the graph Laplace operator $\Delta$ acting in the Hilbert space $L^{2}(\mu)$. To emphasize this fact, we will use also the notation $\Delta_{2}$. As usual, our basic objects are a measure space $(V, \mathcal{B}, \mu)$ and a symmetric measure $\rho$ such that $\rho_{x}(V)=c(x) \in(0, \infty)$ for $\mu$-a.e. $x \in V$.
Assumption E. We assume in this section that, for every set $A \in \mathcal{B}{\text {fin }}$, the function $$ x \mapsto \rho{x}(A)=\int_{V} \chi_{A}(y) d \rho_{x}(y)
$$
belongs to $L^{1}(\mu) \cap L^{2}(\mu)$.
Recall that the subspace $\mathcal{D}{\text {fin }}$ is spanned by characteristic functions $\chi{A}$ with $\mu(A)<\infty$. Clearly, $\mathcal{D}_{\text {fin }}$ is dense in $L^{2}(\mu)$.
We use Assumption to justify the definition of the graph Laplace operator $\Delta$ as an unbounded linear operator acting in $L^{2}(\mu)$.
Lemma 7.1. Let
$$
\Delta(f)(x)=\int_{V}(f(x)-f(y)) d \rho_{x}(y) .
$$
Then
$$
\mathcal{D}_{\text {fin }} \subset \operatorname{Dom}(\Delta) \cap L^{2}(\mu)
$$
and $\Delta$ is a densely defined operator.
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Structure of the energy space
我们现在解决关于能量空间结构的问题 $\mathcal{H}$. 我们首先证明 $\mathcal{H}$ 包含由有限测度集 的特征函数跨越的线性子空间。在下一条语句中，我们还给出了计算范数的两 个公式 $\chi_{A}$ 和特征函数在度量方面的内积 $\rho$. 引理 6.18。认为 $c(x)$ 是局部可积的 $\mu$. 然后
$$
\mathcal{D} \text { fin } \subset \mathcal{H}
$$
此外，如果 $A \in \mathcal{B}$ fin，然后
$$
\left|\chi_{A}\right|{\mathcal{H} E}^{2} \leq \int A c(x) d \mu(x), $$ 和 $$ \left|\chi{A}\right|{\mathcal{H} E}^{2}=\rho\left(A \times A^{c}\right) $$ 在哪里 $A^{c}:=V \backslash A$. 更一般地说，一个有 $$ \left\langle\chi A, \chi{B}\right\rangle_{\mathcal{H E}}=\rho((A \cap B) \times V)-\rho(A \times B) \quad=\nu(A \cap B)-\rho(A \times B)
$$
和
$$
\chi A \perp \chi_{B} \Longleftrightarrow \rho((A \backslash B) \times B)=\rho\left((A \cap B) \times B^{c}\right) .
$$
证明。我们使用 (6.5) 并计算 $A \in \mathcal{B}$ fin
$$
|\chi A|{\mathcal{H E}}^{2}=\frac{1}{2} \int V \times V\left(\chi{A}(x)-\chi_{A}(y)\right)^{2} d \rho(x, y)=\quad \frac{1}{2} \int_{V \times V}\left(2 \chi_{A}(x)-2 \chi_{A}\right.
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Spectral theory for graph Laplacians in L2
我们将在这里使用前面章节中介绍的符号。在下一个语句中，我们考虑图拉普 拉斯算子 $\Delta$ 作用于希尔伯特空间 $L^{2}(\mu)$. 为了强调这一事实，我们还将使用符 号 $\Delta_{2}$. 像往常一样，我们的基本对象是测量空间 $(V, \mathcal{B}, \mu)$ 和一个对称的度量 $\rho$ 这样 $\rho_{x}(V)=c(x) \in(0, \infty)$ 为了 $\mu$-ae $x \in V$.
$$
x \mapsto \rho x(A)=\int_{V} \chi_{A}(y) d \rho_{x}(y)
$$
属于 $L^{1}(\mu) \cap L^{2}(\mu)$.
回想一下子空间 $\mathcal{D}$ fin 由特征函数跨越 $\chi A$ 和 $\mu(A)<\infty$. 清楚地， $\mathcal{D}{\text {fin 密集 }}$ 在 $L^{2}(\mu)$. 我们使用假设来证明图拉普拉斯算子的定义 $\Delta$ 作为一个无界线性算子 $L^{2}(\mu)$. 引理 7.1。 让 $$ \Delta(f)(x)=\int{V}(f(x)-f(y)) d \rho_{x}(y)
$$
然后
$$
\mathcal{D}_{\text {fin }} \subset \operatorname{Dom}(\Delta) \cap L^{2}(\mu)
$$
和 $\Delta$ 是一个密集定义的算子。
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