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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Definition and properties of the finite energy space HE

We consider a class of Borel functions over $(V, \mathcal{B}, \mu)$ which is formed by functions of finite energy. In other words, this section is focused on a measurable analogue of the energy Hilbert space which was extensively studied in the context of discrete networks, see, e.g., [Cho14, JP16, Jor12, LP16].

Definition 6.6. Let $(V, \mathcal{B}, \mu)$ be a standard measure space with $\sigma$-finite measure $\mu$. Suppose that $\rho$ is a symmetric measure on the Cartesian product $(V \times V, \mathcal{B} \times \mathcal{B})$. We say that a Borel function $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ belongs to the finite energy space $\mathcal{H}{E}=\mathcal{H}$ if $$ \iint{V \times V}(f(x)-f(y))^{2} d \rho(x, y)<\infty .
$$
If the measure $\rho$ is defined in terms of a conductance function $c_{x y}$, then a function $f$ is in $\mathcal{H}$ when
$$
\int_{V}\left(\int_{V} c_{x y}(f(x)-f(y))^{2} d \mu(y)\right) d \mu(x)<\infty .
$$
Remark 6.7. (1) It follows from the Cauchy-Schwarz inequality in the space $L^{2}(\rho)$ that the set $\mathcal{H}$ is a vector space. It contains all constant function $k$. Since for the functions $f$ and $f+k$, the quantity in (6.2) is the same, we can identify such functions in the space $\mathcal{H}$. That is $\mathcal{H}$ can be treated as the space of classes of equivalent functions where $f \sim g$ iff $f-g$ is a constant. With some abuse of notation we will denote this quotient space again by $\mathcal{H}$. We show below that $\mathcal{H}$ is a Hilbert space.

电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Energy space is embedded into dissipation space

Let $P$ be a Markov operator and $x$ is a fixed point in $V$. Denote by $P(x, A)$ the probability measure defined by $P$ as in Section 4 . This means that
$$
P(x, f)=\int_{V} f(y) d \bar{\rho}{x}(y)=P(f)(x) $$ where $f$ is a Borel function. If $X{n}(\omega)$ is a corresponding sequence of random variables on $\Omega_{x}$, then we have the following formulas for the conditional expectation $\mathbb{E}{x}$ with respect to the probability measure $\mathbb{P}{x}$ :
$$
\begin{aligned}
&\mathbb{E}{x}\left(f \circ X{0}\right)=\int_{\Omega_{x}} f\left(X_{0}(\omega)\right) d \mathbb{P}{x}(\omega)=\int{\Omega_{x}} f(x) d \mathbb{P}{x}(\omega)=f(x), \ &\mathbb{E}{x}\left(f \circ X_{1}\right)=\int_{\Omega_{x}} f\left(X_{1}(\omega)\right) d \mathbb{P}{x}(\omega)=\int{V} f(y) P(x, d y)=P(f)(x)
\end{aligned}
$$
where $y=X_{1}(\omega)$.
Definition 6.11. Define a linear operator $\partial: \mathcal{H}{E} \rightarrow$ Diss by the formula: $$ \partial: f \mapsto f \circ X{1}-f \circ X_{0} .
$$
Similarly, we set
$$
\partial_{n}: f \mapsto f \circ X_{n+1}-f \circ X_{n} .
$$
Remark that we use the same notation $\partial$ as in (6.6) of Lemma $6.8$ because these operators are essentially similar.
Lemma 6.12. The operator $\partial: \mathcal{H}_{E} \rightarrow$ Diss defined in (6.9) is an isometry.

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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Definition and properties of the finite energy space HE

我们考虑一类 Borel 函数 $(V, \mathcal{B}, \mu)$ 它是由有限能量的函数形成的。换句话 说,本节重点关注能量希尔伯特空间的可测量模拟,该空间在离散网络的背景 下得到了广泛的研究,例如,参见 [Cho14,JP16,Jor12,LP16]。
定义 6.6。让 $(V, \mathcal{B}, \mu)$ 是一个标准测度空间 $\sigma$ – 有限度 $\mu$. 假设 $\rho$ 是笛卡尔积的 对称测度 $(V \times V, \mathcal{B} \times \mathcal{B})$. 我们说一个 Borel 函数 $f: V \rightarrow \mathbb{R}$ 属于有限能量 空间 $\mathcal{H} E=\mathcal{H}$ 如果
$$
\iint V \times V(f(x)-f(y))^{2} d \rho(x, y)<\infty .
$$
如果测量 $\rho$ 是根据电导函数定义的 $c_{x y}$ ,然后是一个函数 $f$ 在 $\mathcal{H}$ 什么时候
$$
\int_{V}\left(\int_{V} c_{x y}(f(x)-f(y))^{2} d \mu(y)\right) d \mu(x)<\infty .
$$
备注 6.7。(1) 由空间中的 Cauchy-Schwarz 不等式得出 $L^{2}(\rho)$ 那套 $\mathcal{H}$ 是向量 空间。它包含所有常量函数 $k$. 因为对于函数 $f$ 和 $f+k ,(6.2)$ 中的量相同, 我们可以在空间中识别出这样的函数 $\mathcal{H}$. 那是 $\mathcal{H}$ 可以被视为等价函数类的空 间,其中 $f \sim g$ 当且当 $f-g$ 是一个常数。在滥用符号的情况下,我们将再次 表示这个商空间 $\mathcal{H}$. 我们在下面展示 $\mathcal{H}$ 是希尔伯特空间。

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让 $P$ 是马尔可夫算子并且 $x$ 是一个固定点 $V$. 表示为 $P(x, A)$ 由下式定义的概率 测度 $P$ 如第 4 节。这意味着
$$
P(x, f)=\int_{V} f(y) d \bar{\rho} x(y)=P(f)(x)
$$
在哪里 $f$ 是 Borel 函数。如果 $X n(\omega)$ 是一个对应的随机变量序列 $\Omega_{x}$ ,那么我 们有以下条件期望公式 $\mathbb{E} x$ 关于概率测度 $\mathbb{P} x$ :
$$
\mathbb{E} x(f \circ X 0)=\int_{\Omega_{x}} f\left(X_{0}(\omega)\right) d \mathbb{P} x(\omega)=\int \Omega_{x} f(x) d \mathbb{P} x(\omega)=f(x)
$$
在哪里 $y=X_{1}(\omega)$.
定义 6.11。定义一个线性算子 $\partial: \mathcal{H} E \rightarrow$ 按公式计算:
$$
\partial: f \mapsto f \circ X 1-f \circ X_{0} .
$$
同样,我们设置
$$
\partial_{n}: f \mapsto f \circ X_{n+1}-f \circ X_{n} .
$$
注意我们使用相同的符号 $\partial$ 如引理的 (6.6)6.8因为这些运算符本质上是相似 的。
引理 6.12。运营商 $\partial: \mathcal{H}_{E} \rightarrow(6.9)$ 中定义的 Diss 是等距。

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