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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Spectral theory of the graph Laplacian in the energy space
In this section, we consider the graph Laplace operator $\Delta$ acting in the energy space $\mathcal{H}=\mathcal{H}_{E}$. We will also discuss the properties of this operator $\Delta$.
Our approach is based on the notion of symmetric pairs of operators. We briefly describe this approach. For more details regarding the theory of unbounded operators, readers may consult the following items [DS88, JT17b] and the papers cited there.
Let $\mathcal{H}{1}$ and $\mathcal{H}{2}$ be Hilbert spaces, and let $\mathcal{D}{1} \subset \mathcal{H}{1}$ and $\mathcal{D}{2} \subset \mathcal{H}{2}$ be dense subspaces. Suppose that two linear operators
$$
J: \mathcal{D}{1} \rightarrow \mathcal{H}{2}, \quad K: \mathcal{D}{2} \rightarrow \mathcal{H}{1}
$$
are defined on these dense subspaces. The pair $(J, K)$ is called a symmetric pair if
$$
\langle J \varphi, \psi\rangle_{\mathcal{H}{2}}=\langle\varphi, K \psi\rangle{\mathcal{H}{1},} \varphi \in \mathcal{D}{1}, \psi \in \mathcal{D}_{2} .
$$
The following statement is a well-known result in the theory of unbounded operators.
Lemma 8.1.
(1) Suppose $(J, K)$ be a symmetric pair satisfying (8.1) and (8.2). Then the operators $J$ and $K$ are closable and $J \subset K^{}, K \subset J^{}$. Without loss of generality, one can assume that $J=\bar{J}, K=\bar{K}$.
(2) $J^{} J$ is a self-adjoint densely defined operator in $\mathcal{H}{1}$, and $K^{} K$ is a self-adjoint densely defined operator in $\mathcal{H}{2}$.
Now we apply the above statement to the case of Hilbert spaces $L^{2}(\mu)$ and $\mathcal{H}{E}$. To distinguish the graph Laplace operators acting in $L^{2}(\mu)$ and $\mathcal{H}{E}$, we will use the notation $\Delta_{2}$ and $\Delta_{\mathcal{H}}$, respectively.
As was proved in Theorems $7.3$ and $7.7$, the operator $\Delta_{2}$ is positive definite and essentially self-adjoint; therefore, by the spectral theorem, there exists a projection-valued measure $Q(d t)$ such that
$$
\Delta_{2}=\int_{0}^{\infty} t d Q(t)
$$
or, for any $\varphi \in L^{2}(\mu)$,
$$
\left\langle\varphi, \Delta_{2} \varphi\right\rangle_{L^{2}(\mu)}=\int_{0}^{\infty} t|Q(d t) \varphi|_{L^{2}(\mu)}^{2}
$$
(we used here the fact that $Q(d t)$ is a projection).
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Combinatorial description of the c-free convolution
Let now the pair of probability measures on $\mathbb{R}$ with all moments $\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right),\left(\mu_{2}, \nu_{2}\right)$ be given. We will identify $\mu_{i}, \nu_{i}$ with states on polynomial algebras $\mathbb{C}\langle\mathbb{X}\rangle,(i=1,2)$ by the formulas (1). Let us consider the $c$-free product $\varphi=\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right) *{c}\left(\mu{2}, \nu_{2}\right)$ on $\mathbb{C}\left\langle\mathbb{X}{1}\right\rangle * \mathbb{C}\left\langle\mathbb{X}{2}\right\rangle=\mathbb{C}\left\langle\mathbb{X}{1}, \mathbb{X}{2}\right\rangle$ – later is the algebra of polynomials is the noncommutative variables $\mathbb{X}{1}$ and $\mathbb{X}{2}$.
The $c$-free convolution
$$
\mu=\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right) \boxplus\left(\mu_{2}, \nu_{2}\right) \in \mathcal{M}
$$
is then givenn as the distribution of $\mathbb{X}:=\mathbb{X}{1}+\mathbb{X}{2}$, i.é.,
$$
\int_{\mathbb{R}} t^{n} d \mu(t)-\mu\left(\mathbb{X}^{n}\right)-\varphi\left(\left(\mathbb{X}{1}+\mathbb{X}{2}\right)^{n}\right), \quad n \geq 0 .
$$
Note, that if $\mu_{i}=\nu_{i}$, then this reduces to the free convolution of probability measures done by D. Voiculescu [34].
As in the free case there is a nice combinatorial description of $c$-free convolution using the notion of non-crossing partitions $-N C(n)$.
Definition 3.1. Let $\pi=\left{V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{p}\right}$ be a partition of the linear outer set ${1,2, \ldots, n}$, i.e., $V_{i} \neq \emptyset$, disjoint $\bigcup V_{j}={1,2, \ldots, n}$. Then $\pi$ is called noncrossing partition if $a, c \in V_{i}$ and $b, d \in V_{j}$, and $a<b<c<d$ implies $i=j$.
The sets $V_{i} \in \pi$ are called blocks.
A block $V_{i}$ of a non-crossing partition $\pi=\left{V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{p}\right}$ is called inner block if there exist a $V_{j} \in \pi$ and $a, b, \in V_{j}$ such that $a<v<b$ for at least one (and hence for all) $v \in V_{i}$. A block $V_{i} \in \pi$ which is not inner is called outer.
We will denote by $N C(n)$ the set of all non-crossing partitions of ${1,2, \ldots, n}$, and by $\pi=\left{V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}\right} \in N C_{2}(2 n)$ we denote those non-crossing partitions where each block $V_{i} \in \pi$ consists of exactly two elements.
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Spectral theory of the graph Laplacian in the energy space
在本节中，我们考虑图拉普拉斯算子 $\Delta$ 作用于能量空间 $\mathcal{H}=\mathcal{H}{E}$. 我们还将讨 论此运算符的属性 $\Delta$. 我们的方法基于对称运算符对的概念。我们简要描述了这种方法。有关无界算 子理论的更多细节，读者可以参考以下项目 [DS88, JT17b] 以及其中引用的论 文。 让 $\mathcal{H} 1$ 和 $\mathcal{H} 2$ 是希尔伯特空间，让 $\mathcal{D} 1 \subset \mathcal{H} 1$ 和 $\mathcal{D} 2 \subset \mathcal{H} 2$ 是稠密的子空间。假 设两个线性算子 $$ J: \mathcal{D} 1 \rightarrow \mathcal{H} 2, \quad K: \mathcal{D} 2 \rightarrow \mathcal{H} 1 $$ 在这些密集子空间上定义。这对 $(J, K)$ 称为对称对，如果 $$ \langle J \varphi, \psi\rangle{\mathcal{H} 2}=\langle\varphi, K \psi\rangle \mathcal{H} 1, \varphi \in \mathcal{D} 1, \psi \in \mathcal{D}{2} . $$ 以下陈述是无界算子理论中的一个㞤所周知的结果。 在本节中，我们考虑图拉普拉斯算子 $\Delta$ 作用于能量空间 $\mathcal{H}=\mathcal{H}{E}$. 我们还将讨 论此运算符的属性 $\Delta$.
我们的方法基于对称运算符对的概念。我们简要描述了这种方法。有关无界算 子理论的更多细节，读者可以参考以下项目 [DS88, JT17b] 以及其中引用的论 文。
让 $\mathcal{H} 1$ 和 $\mathcal{H} 2$ 是希尔伯特空间，让 $\mathcal{D} 1 \subset \mathcal{H} 1$ 和 $\mathcal{D} 2 \subset \mathcal{H} 2$ 是稠密的子空间。假 设两个线性算子
$$
J: \mathcal{D} 1 \rightarrow \mathcal{H} 2, \quad K: \mathcal{D} 2 \rightarrow \mathcal{H} 1
$$
在这些密集子空间上定义。这对 $(J, K)$ 称为对称对，如果
$$
\langle J \varphi, \psi\rangle_{\mathcal{H} 2}=\langle\varphi, K \psi\rangle \mathcal{H} 1, \varphi \in \mathcal{D} 1, \psi \in \mathcal{D}_{2} .
$$
以下陈述是无界算子理论中的一个㞤所周知的结果。
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Combinatorial description of the c-free convolution
现在让这对概率测度 $\mathbb{R}$ 与所有时刻 $\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right),\left(\mu_{2}, \nu_{2}\right)$ 被给予。我们将识别 $\mu_{i}, \nu_{i}$ 具有多项式代数的状态 $\mathbb{C}\langle\mathbb{X}\rangle,(i=1,2)$ 由公式 (1)。让我们考虑 $c-$ 免费产品 $\varphi=\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right) * c\left(\mu 2, \nu_{2}\right)$ 上 $\mathbb{C}\langle\mathbb{X} 1\rangle * \mathbb{C}\langle\mathbb{X} 2\rangle=\mathbb{C}\langle\mathbb{X} 1, \mathbb{X} 2\rangle-$ 后面是多项式的代数是非交换变量 $X 1$ 和 $X 2$.
这 $c$ – 自由卷积
$$
\mu=\left(\mu_{1}, \nu_{1}\right) \boxplus\left(\mu_{2}, \nu_{2}\right) \in \mathcal{M}
$$
然后给出为 $\mathbb{X}:=\mathbb{X} 1+\mathbb{X} 2$ ， $\mathrm{IE}{\text {。， }}$ $$ \int{\mathbb{R}} t^{n} d \mu(t)-\mu\left(\mathbb{X}^{n}\right)-\varphi\left((\mathbb{X} 1+\mathbb{X} 2)^{n}\right), \quad n \geq 0
$$
请注意，如果 $\mu_{i}=\nu_{i}$ ，然后这减少到由 D. Voiculescu [34] 完成的概率测量 的自由卷积。
在免费情况下，有一个很好的组合描述 $c$ 使用非交叉分区概念的无卷积 $-N C(n)$
$1,2, \ldots, n$ ，那是， $V_{i} \neq \emptyset$ ，不相交 $\bigcup V_{j}=1,2, \ldots, n$. 然后 $\pi$ 称为非交叉 分区，如果 $a, c \in V_{i}$ 和 $b, d \in V_{j}$ ，和 $a<b<c<d$ 暗示 $i=j$.
套装 $V_{i} \in \pi$ 称为块。
一块 $V_{i}$ 非交叉分区 \pi=\left } { \mathrm { V } _ { – } { 1 } , \mathrm { V } _ { – } { 2 } , \backslash \text { Idots, } \mathrm { V } _ { – } { \mathrm { p } } \backslash r i g h t } \text { 如果存在一个，则 } 称为内部块 $V_{j} \in \pi$ 和 $a, b, \in V_{j}$ 这样 $a<v<b$ 对于至少一个 (因此对于所 有) $v \in V_{i}$. 一块 $V_{i} \in \pi$ 不是内在的称为外。
我们将表示为 $N C(n)$ 的所有非交叉分区的集合 $1,2, \ldots, n$ ，并由 分区，其中每个块 $V_{i} \in \pi$ 正好由两个元素组成。
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