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这是一份anu澳大利亚国立大学PHYS3203代写作业代写的成功范本
Recognising tensors. One way to prove that something is a vector or tensor is to show explicitly that it satisfies the coordinate transformation laws. This can be a long and arduous procedure if the tensor is complicated, like $R_{\mu \nu \kappa^{*}}^{\lambda}$. There is another way, usually much better! Show that if $V_{\nu}$ is an arbitrary covariant vector and the combination $T^{\mu \nu} V_{\nu}$ is known to be a contravariant vector (note the free index $\mu$ ), then
$$
\left(T^{\prime \mu \nu}-T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}}\right) V_{\nu}^{\prime}=0
$$
Why does this prove that $T_{\mu \nu}$ is a tensor? Does your proof actually depend on the rank of the tensots involved?
Solution:
If $T^{\mu \nu} V_{\nu}$ and $V_{\nu}$ are known to be tensors (vectors), we can write
$$
T^{\prime \mu \nu} V_{\nu}^{\prime}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} T^{\lambda \kappa} V_{\kappa}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{n \nu}}{\partial x^{\kappa}} T^{\lambda \kappa} V_{\nu}^{\prime}
$$
which implies
$$
\left(T^{\prime \mu \nu}-T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}}\right) V_{\nu}^{\prime}=0
$$
and
$$
T^{\prime \mu \nu}=T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}},
$$
since $V_{\nu}$ is arbitrary. The same reasoning applies to tensors of arbitrary rank.
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问题 $1 .$
识别张量。证明某事物是向量或张量的一种方法是明确表明它满足坐标变换定律。如果张量很 复杂，这可能是一个漫长而艰巨的过程，例如 $R_{\mu \nu \kappa^{*}}^{\lambda}$. 还有另一种方法，通常要好得多! 证明如 果 $V_{\nu}$ 是一个任意协变向量和组合 $T^{\mu \nu} V_{\nu}$ 已知是一个逆变向量（注意自由索引 $\mu$ ），然后
$$
\left(T^{\prime \mu \nu}-T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}}\right) V_{\nu}^{\prime}=0
$$
为什么这证明 $T_{\mu \nu}$ 是张量吗? 您的证明实际上是否取决于所涉及的张量的等级?
证明.
解决方案：
如果 $T^{\mu \nu} V_{\nu}$ 和 $V_{\nu}$ 已知是张量（向量），我们可以写
$$
T^{\prime \mu \nu} V_{\nu}^{\prime}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} T^{\lambda \kappa} V_{\kappa}=\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{n \nu}}{\partial x^{\kappa}} T^{\lambda \kappa} V_{\nu}^{\prime}
$$
这意味着
$$
\left(T^{\prime \mu \nu}-T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}}\right) V_{\nu}^{\prime}=0
$$
和
$$
T^{\prime \mu \nu}=T^{\lambda \sigma} \frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\lambda}} \frac{\partial x^{\prime \nu}}{\partial x^{\sigma}},
$$
自从 $V_{\nu}$ 是任意的。同样的推理也适用于任意等级的张量。
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