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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Absorption and Reflection
Plane monochromatic waves
$$
\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{x}, t)=\tilde{\mathbf{E}}{0} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t)} $$ are solutions of the wave equation Eq. (1.20), even if the permittivity $\tilde{\varepsilon}=\tilde{\chi}+1$ is complex. The dispersion relation Eq. (1.27) requires $$ \tilde{\mathbf{k}}^{2}=\tilde{\varepsilon}\left(\frac{\omega}{c{0}}\right)^{2}=: \tilde{n}^{2} k_{0}^{2},
$$
implying a complex propagation index
$$
\tilde{n}=\sqrt{\varepsilon^{\prime}+\mathrm{j} \varepsilon^{\prime \prime}}=: n-\mathrm{j} \kappa \text {; }
$$
$n$ and $\kappa$ are obtained from $\tilde{\varepsilon}$ by setting
$$
n^{2}-\kappa^{2}=\varepsilon^{\prime}, \quad 2 n \kappa=-\varepsilon^{\prime \prime} .
$$
Elimination of $\kappa$ yields
$$
4 n^{4}-4 n^{2} \varepsilon^{\prime}-\varepsilon^{\prime \prime 2}=0
$$
so that
$$
\begin{aligned}
&n=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}+\varepsilon^{\prime}}{2}} \
&\kappa=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}-\varepsilon^{\prime}}{2}} .
\end{aligned}
$$
Figure $2.18$ shows the frequency dependence of these two parameters for the $\tilde{\varepsilon}(\omega)$ shown in Fig. 2.17. Equation (2.62) then assumes the form
$$
\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{x}, t)=\tilde{\mathbf{E}}{0} \mathrm{e}^{-\kappa k{0} z} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(n \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{x}-\omega t\right)}
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Free Electron Gas Model of Metals
The resonant behavior discussed above is due to the restoring force $a x$ in the equation of motion Eq. (2.51) and is characteristic for bound electrons. Many optical and electronic properties of metals, on the other hand, can be described in good
approximation by modeling the conduction electrons as a free electron gas, i.e., by setting the restoring force in the equation of motion equal to zero
$$
\ddot{\mathbf{x}}+\Gamma \dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{e}} \mathbf{E}(t)
$$
the complex susceptibility $\tilde{\chi}(\omega)$ according to Eq. $(2.56)$ is then
$$
\tilde{\chi}(\omega)=-\left(\frac{n_{\mathrm{e}} e^{2}}{\varepsilon_{0} m_{\mathrm{e}}}\right) \frac{1}{\omega^{2}-\mathrm{j} \omega \Gamma} .
$$
The physical source of the damping term in metals are electron collisions that occur within an average collision time $\tau_{\mathrm{e}}$; to establish a relation between $\Gamma$ and $\tau_{\mathrm{e}}$, we expose the electrons to a constant electric field; the stationary velocity of the electrons according to $\mathrm{Eq} .(2.78)$ is
$$
\dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}} \Gamma} \mathbf{E} .
$$
Assuming that the electron velocity is completely randomized by a collision and the average velocity immediately after a collision is consequently equal to zero, the average velocity of the electrons in the static field is also equal to the acceleration of the electrons, $-\left(e / m_{\mathrm{e}}\right) \mathbf{E}(t)$, multiplied with the average time $\tau_{\mathrm{e}}$ between consecutive collisions
$$
\dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}}} \tau_{\mathrm{e}} \mathbf{E},
$$ so that we can set
$$
\Gamma=\frac{1}{\tau_{\mathrm{e}}} .
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Absorption and Reflection
平面单色波
$$
\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{x}, t)=\tilde{\mathbf{E}} 0 \mathrm{e}^{-\mathrm{j}(\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}-\omega t)}
$$
是波动方程方程的解。(1.20)，即使介电常数 $\tilde{\varepsilon}=\tilde{\chi}+1$ 很复杂。色散关系 式。(1.27) 要求
$$
\tilde{\mathbf{k}}^{2}=\tilde{\varepsilon}\left(\frac{\omega}{c 0}\right)^{2}=: \tilde{n}^{2} k_{0}^{2}
$$
暗示复杂的传播指数
$$
\tilde{n}=\sqrt{\varepsilon^{\prime}+\mathrm{j} \varepsilon^{\prime \prime}}=: n-\mathrm{j} \kappa ;
$$
$n$ 和 $\kappa$ 获得自 $\tilde{\varepsilon}$ 通过设置
$$
n^{2}-\kappa^{2}=\varepsilon^{\prime}, \quad 2 n \kappa=-\varepsilon^{\prime \prime} .
$$
消除 $\kappa$ 产量
$$
4 n^{4}-4 n^{2} \varepsilon^{\prime}-\varepsilon^{\prime \prime 2}=0
$$
以便
$$
n=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}+\varepsilon^{\prime}}{2}} \quad \kappa=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}-\varepsilon^{\prime}}{2}} .
$$
以便
$$
n=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}+\varepsilon^{\prime}}{2}} \quad \kappa=\sqrt{\frac{\left(\varepsilon^{\prime 2}+\varepsilon^{\prime \prime 2}\right)^{1 / 2}-\varepsilon^{\prime}}{2}}
$$
数字 $2.18$ 显示了这两个参数的频率依赖性 $\tilde{\varepsilon}(\omega)$ 如图 2.17 所示。等式 (2.62) 然 后采用以下形式
$$
\tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{x}, t)=\tilde{\mathbf{E}} 0 \mathrm{e}^{-\kappa k 0 z} \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\left(n \mathbf{k}_{0} \cdot \mathbf{x}-\omega t\right)}
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Free Electron Gas Model of Metals
上面讨论的共振行为是由于恢复力 $a x$ 在运动方程中。(2.51) 并且是束缚电子的 特征。另一方面，金属的许多光学和电子特性可以很好地描述
通过将传导电子建模为自由电子气来进行近似，即通过将运动方程中的恢复力 设置为零
$$
\ddot{\mathbf{x}}+\Gamma \dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{e}} \mathbf{E}(t)
$$
复杂的敏感性 $\tilde{\chi}(\omega)$ 根据方程式。(2.56)那么是
$$
\tilde{\chi}(\omega)=-\left(\frac{n_{\mathrm{e}} e^{2}}{\varepsilon_{0} m_{\mathrm{e}}}\right) \frac{1}{\omega^{2}-\mathrm{j} \omega \Gamma} .
$$
金属中阻尼项的物理来源是在平均碰撞时间内发生的电子碰撞 $\tau_{\mathrm{e}}$; 建立关系 $\Gamma$ 和 $\tau_{\mathrm{e}}$ ，我们将电子暴露在一个恒定的电场中；电子的静止速度根据Eq. (2.78) 是
$$
\dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}} \Gamma} \mathbf{E}
$$
假设电子速度通过碰撞完全随机化并且碰撞后立即的平均速度因此等于零，则 静态场中电子的平均速度也等于电子的加速度， $-\left(e / m_{\mathrm{e}}\right) \mathbf{E}(t)$ ，乘以平均 时间 $\tau_{\mathrm{e}}$ 连续碰撞之间
$$
\dot{\mathbf{x}}=-\frac{e}{m_{\mathrm{e}}} \tau_{\mathrm{e}} \mathbf{E},
$$
这样我们就可以设置$\Gamma=\frac{1}{\tau_{\mathrm{e}}} .$
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