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电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Kramers–Kronig Relations
The polarization $P(t)$ (represented here as a scalar) at a given instant of time is the integrated response of the medium to the electric field up to that instant. Provided that the interaction is linear, we can write
$$
P(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h\left(t-t^{\prime}\right) \varepsilon_{0} E\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}
$$
where $h(t)$ represents the “memory function” of the medium. To understand the meaning of $h(t)$, we assume that the incident field is proportional to a Dirac deltaimpulse $E\left(t^{\prime}\right) \propto \delta\left(t^{\prime}\right)$ arriving at $t^{\prime}=0$. The resulting time dependent polarization is then proportional to $h(t)$, which is consequently called impulse response function.
If we apply, instead, an oscillating field $E(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde{E}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}\right]$, then $P(t)=$ $\operatorname{Re}\left[\tilde{P}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}\right]$ will oscillate at $\omega$ and we obtain, with $t^{\prime \prime}:=t-t^{\prime}$
$$
\begin{aligned}
\tilde{P}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} &\left.=\int_{-\infty}^{\infty} h\left(t-t^{\prime}\right) \varepsilon_{0} \tilde{F}(\omega)\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t^{\prime}} \mathrm{d} t^{\prime} \
&=\varepsilon_{0} \tilde{E}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} h\left(t^{\prime \prime}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t^{\prime \prime}} \mathrm{d} t^{\prime \prime}
\end{aligned}
$$
Therefore,
$$
\tilde{P}(\omega)=\varepsilon_{0} \tilde{E}(\omega) \tilde{H}(\omega)
$$
where
$$
\tilde{H}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t
$$
is the Fourier transform of the impulse response. A comparison with Eq. (1.7) shows that this so-called transfer function is identical to the susceptibility
$$
\tilde{\chi}(\omega)=\chi^{\prime}(\omega)+\mathrm{j} \chi^{\prime \prime}(\omega)=H(\omega) .
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Wave Propagation in Anisotropic Media
We now extend our treatment of wave propagation to optically anisotropic media (usually crystals), where the relation between $\mathbf{P}$ and $\mathbf{E}$ (and therefore $\mathbf{D}$ and $\mathbf{E}$ ) depends on the direction of $\mathbf{E}$ within the medium. In the framework of the linear oscillator model, the reason for this is the anisotropy of the restoring force.
One consequence of optical anisotropy is the dependence of the propagation index on the direction of the wave vector and the polarization state of the wave. As we shall see, for a given direction of the wave vector there exist two linear polarization states with well defined, generally different propagation indices. At a border between an anisotropic medium and another one, the two states are refracted in different directions-this is the reason why anisotropic media are also called birefringent.
In an anisotropic, linear medium, the vectors $\mathbf{P}$ and $\mathbf{E}$ are generally not collinear, but related by the more general linear equation
$$
\begin{aligned}
&P_{1}=\varepsilon_{0} \chi_{11} E_{1}+\varepsilon_{0} \chi_{12} E_{2}+\varepsilon_{0} \chi_{13} E_{3} \
&P_{2}=\varepsilon_{0} \chi_{21} E_{1}+\varepsilon_{0} \chi_{22} E_{2}+\varepsilon_{0} \chi_{23} E_{3} \
&P_{3}=\varepsilon_{0} \chi_{31} E_{1}+\varepsilon_{0} \chi_{32} E_{2}+\varepsilon_{0} \chi_{33} E_{3}
\end{aligned}
$$
or
$$
P_{i}=\varepsilon_{0} \sum_{j=1}^{3} \chi_{i j} E_{j}
$$
in the following we will adopt Einstein’s convention, according to which the double occurrence of an index in one term implies summation over the values of this index, so that Eq. (2.107) can be written as
$$
P_{i}=\varepsilon_{0} \chi_{i j} E_{j} .
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Kramers–Kronig Relations
极化 $P(t)$ (此处表示为标量) 在给定时刻是介质到该时刻对电场的综合响 应。假设交互是线性的，我们可以写
$$
P(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h\left(t-t^{\prime}\right) \varepsilon_{0} E\left(t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}
$$
在哪里 $h(t)$ 代表介质的“记忆功能”。要理解的意思 $h(t)$ ，我们假设入射场与狄 拉克增量脉冲成正比 $E\left(t^{\prime}\right) \propto \delta\left(t^{\prime}\right)$ 到达 $t^{\prime}=0$. 产生的时间相关极化然后与 $h(t)$ ，因此称为脉冲响应函数。
相反，如果我们应用一个振荡场 $E(t)=\operatorname{Re}\left[\tilde{E}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}\right]$ ，然后 $P(t)=$ $\operatorname{Re}\left[\tilde{P}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}\right]$ 将振荡 $\omega$ 我们得到，与 $t^{\prime \prime}:=t-t^{\prime}$
$$
\left.\tilde{P}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t}=\int_{-\infty}^{\infty} h\left(t-t^{\prime}\right) \varepsilon_{0} \tilde{F}(\omega)\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t^{\prime}} \mathrm{d} t^{\prime} \quad=\varepsilon_{0} \tilde{E}(\omega) \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} h\left(t^{\prime \prime}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t^{\prime \prime}} \mathrm{d} t^{\prime \prime}
$$
所以，
$$
\tilde{P}(\omega)=\varepsilon_{0} \tilde{E}(\omega) \tilde{H}(\omega)
$$
在哪里
$$
\tilde{H}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \omega t} \mathrm{~d} t
$$
是脉冲响应的傅里叶变换。与方程式的比较。(1.7) 表明这种所谓的传递函数与 磁化率相同
$$
\tilde{\chi}(\omega)=\chi^{\prime}(\omega)+\mathrm{j} \chi^{\prime \prime}(\omega)=H(\omega)
$$
电子工程代写|信号处理与线性系统作业代写Signal Processing and Linear Systems代考|Wave Propagation in Anisotropic Media
我们现在将波传播的处理扩展到光学各向异性介质（通常是晶体），其中之间 的关系 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{E}$ (因此 $\mathbf{D}$ 和 $\mathbf{E}$ ) 取决于方向 $\mathbf{E}$ 介质内。在线性振子模型的框架 下，其原因是恢复力的各向异性。
光学各向异性的一个后果是传播指数依赖于波矢量的方向和波的偏振状态。正 如我们将看到的，对于给定的波矢量方向，存在两个具有明确定义的线性偏振 态，通常不同的传播指数。在各向异性介质和另一种介质的边界处，两种状态 向不同方向折射一-这就是各向异性介质也称为双折射介质的原因。
在各向异性的线性介质中，向量 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{E}$ 通常不共线，但通过更一般的线性方程 相关
$$
P_{1}=\varepsilon_{0} \chi_{11} E_{1}+\varepsilon_{0} \chi_{12} E_{2}+\varepsilon_{0} \chi_{13} E_{3} \quad P_{2}=\varepsilon_{0} \chi_{21} E_{1}+\varepsilon_{0} \chi_{22} E_{2}+\varepsilon_{0} \chi_{23} E_{3} P_{3}
$$
或者
$$
P_{i}=\varepsilon_{0} \sum_{j=1}^{3} \chi_{i j} E_{j}
$$
下面我们将采用爱因斯坦的约定，根据该约定，一个索引在一个术语中的两次 出现意味着对该索引的值求和，因此等式。(2.107) 可以写成
$$
P_{i}=\varepsilon_{0} \chi_{i j} E_{j}
$$
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