# 算法|MATH2014W1-01 Algorithms代写 southampton代写

According to our definition in Lecture 1, a monomial order on $K[x]$ is mixed if it is neither local nor global. In this case, we have strict inclusions
$$K[x] \subsetneq K[x]{>} \subsetneq K[x]{\langle x\rangle}$$
Example 9.8. Let $>{1}$ be a monomial order on $K[x]$, let $>{2}$ be a monomial order on $K[y]$, and let $>$ be the product order $\left(>{1},>{2}\right)$ on $K[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$.

If $>{1}$ is global and $>{2}$ is local, then $S_{>} \subset K[x, y]$ consists precisely of the polynomials of type $a+f$, where $a \in K \backslash{0}$ and $f \in\langle y\rangle \subset K[y]$. Thus,
$$K[x, y]{>}=\left(K[y]{\langle y\rangle}\right)[x]=K[y]{\langle y\rangle} \otimes{K} K[x] .$$
If $>{1}$ is local and $>{2}$ is global, then $S_{>}$consists precisely of the polynomials of type $a+f$, where $a \in K \backslash{0}$ and $f \in\langle x\rangle \subset K[\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}]$. Thus,
$$\left(K[x]{\langle x\rangle}\right)[y] \subsetneq K[x, y]{>} \subsetneq K[x, y]_{\langle x\rangle} .$$

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