# 量子系统 I: 冷原子系统|PHYS97123Quantum Systems I: Cold atomic systems

Path-Dependent Work The force exerted on a body is $\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}} y+\hat{\mathbf{y}} x$. The problem is to calculate the work done going from the origin
$$W=\int_{0,0}^{1,1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{0,0}^{1,1}(-y d x+x d y) .$$
Separating the two integrals, we obtain
$$W=-\int_{0}^{1} y d x+\int_{0}^{1} x d y .$$

The first integral cannot be evaluated until we specify the values of $y$ as $x$ ranges from 0 to 1 . Likewise, the second integral requires $x$ as a function of $y$. Consider first the path Then
$$W=-\int_{0}^{1} 0 d x+\int_{0}^{1} 1 d y=1$$
because $y=0$ along the first segment of the path and $x=1$ along the second. If we select the path $[x=0,0 \leq y \leq 1]$ and $[0 \leq x \leq 1, y=1]$, then gives $W=-1$. For this force, the work done depends on the choice of path.

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