Proof. Let $X$ be a contractible space. There is a point $x_{0}$ in $X$ and a homotopy $H: X \times I \rightarrow X$ such that
$$H(x, 0)=x, \quad H(x, 1)=x_{0}, \quad x \in X .$$
It is easy to see that $X$ is path connected. If $x \in X$, the function
$$\alpha_{x}=H(x,+): I \rightarrow X$$
is a path from $H(x, 0)=x$ to $H(x, 1)=x_{0}$. Thus any two points $x$ and $y$ are joined by the path $\alpha_{x} * \bar{\alpha}{y}$ where $\bar{\alpha}{y}$ is the reverse of $\alpha_{y}$.
Assume for a moment that $H$ has the additional property
$$H\left(x_{0}, s\right)=x_{0}, \quad s \in I .$$

For $[\alpha] \in \pi_{1}\left(X, x_{0}\right)$, define a homotopy $h: I \times I \rightarrow X$ by
$$h(t, s)=H(\alpha(t), s) .$$
Then
$$\begin{gathered} h(t, 0)=\alpha(t), \quad h(t, 1)=x_{0}, \quad t \in I \ h(0, s)=h(1, s)=x_{0}, \quad s \in I \end{gathered}$$

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