英国代考|MATH0014 Algebra 3: Further Linear Algebra 代数 3：进一步的线性代数

Definition. A field is a set $\mathcal{F}$ with two operations ‘ $+$ ‘ and ‘”‘ such that
(1) for any $a, b \in \mathcal{F}$ the result of $a+b$ is in $\mathcal{F}$ and

• $a+b=b+a$
• if $c \in \mathcal{F}$ then $a+(b+c)=(a+b)+c$
(2) for any $a, b \in \mathcal{F}$ the result of $a, b$ is in $\mathcal{F}$ and
• $a \cdot b=b \cdot a$
• if $c \in \mathcal{F}$ then $a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c$
(3) if $a, b, c \in \mathcal{F}$ then $a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c$

(4) there is an element $0 \in \mathcal{F}$ such that

• if $a \in \mathcal{F}$ then $a+0=a$
• for each $a \in \mathcal{F}$ there is an element $-a \in \mathcal{F}$ such that $(-a)+a=0$
(5) there is an element $1 \in \mathcal{F}$ such that
• if $a \in \mathcal{F}$ then $a \cdot 1=a$
• for each element $a \neq 0$ of $\mathcal{F}$ there is an element $a^{-1} \in \mathcal{F}$ such that $a^{-1} \cdot a=1 .$

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