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问题 1.

Proof. Indeed, if (a) holds, then there exists $\varepsilon>0$ such that for every $\delta>0$, we can find the numbers $x, y \in(c, c+\delta)$ such that
$$
|f(x)-f(c)| \geq \sqrt{\varepsilon} \text { and } u(y)-u(c) \geq \sqrt{\varepsilon} .
$$
Let $P=\left{x_{0}, \dots, x_{n}\right}$ be any partition of $[a, b]$. Then $c \in\left[x_{k}, x_{k+1}\right)$ for some $k=$ $0, \ldots, n-1$. Let $x \in\left(c, x_{k+1}\right)$ be so that $|f(x)-f(c)| \geq \sqrt{\varepsilon}$. Then there exists $y \in(c, x)$ such that $u(y)-u(c) \geq \sqrt{\varepsilon}$. Since $u$ is increasing, $u(x)-u(c) \geq u(y)-$ $u(c) \geq \sqrt{\varepsilon}$. Now consider the refinement
$$
Q=\left{x_{0}, \ldots, x_{k-1}, x_{k}, c, x, x_{k+1}, \ldots, x_{n}\right}
$$
of $\mathcal{P}$. Note that if $c \in \mathcal{P}$, then $c$ and $x_{k}$ are same numbers. Then
$$
S^{}(f, u, \mathcal{Q})-S_{}(f, u, \mathcal{Q}) \geq|f(x)-f(c)|(u(x)-u(c)) \geq \varepsilon .
$$
This implies $S^{}(f, u, \mathcal{P})-S_{}(f, u, \mathcal{P}) \geq \varepsilon$ since $\mathcal{Q}$ is a refinement of $\mathcal{P}$. From the arbitrariness of $\mathcal{P}$, we conclude that $S^{}(f, u)-S_{}(f, u) \geq \varepsilon$, that is, $(f, u) \notin R S(a, b)$. The arguments are similar if (b) holds.

证明 .

Step 6: $a \in B^{c}$ is true (follows from Step 5).
Step 7: $a \in A^{c} \cap B^{c}$ is true (conclusion, follows from Steps 4 and 6).
To get a proof that $Q \Rightarrow P$ is true, we verify whether or not it can be obtained by conversion in the order of the steps in the preceding proof. This is an easy way to get a proof of the truth value of a converse proposition that, unfortunately, is not always a successful way. So, we obtain the following (direct) proof by conversion that $Q \Rightarrow P$ is true:
Step 1: $a \in A^{c} \cap B^{c}$ is true (condition, it is assumed).
Step 2: $a \in B^{c}$ is true (follows from Step 1).
Step 3: $a \notin B$ is true (follows from Step 2).
Step 4: $a \in A^{c}$ is true (follows from Step 1).
Step 5: $a \notin A$ is true (follows from Step 4).
Step 6: $a \notin A \cup B$ is true (follows from Steps 3 and 5).
Step 7: $a \in(A \cup B)^{c}$ is true (conclusion, follows from Step 6).

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